Đề số 1 ôn tập giai đoạn cuối

Thời gian làm bài:

Câu 1. Một tổ có $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ. Số cách sắp xếp các thành viên trong tổ theo một hàng dọc là
A. $4!+6!$.
B. $6!\cdot 4!$.
C. $10!$.
D. $\mathrm{C}_{10}^{10}$.

Lời giải câu 1
Số cách sắp xếp $10$ học sinh vào một hàng dọc là $10!$ cách.

Câu 2. Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=4, u_{2}=-8$. Công bội của cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ là
A. $q=-32$.
B. $q=-\dfrac{1}{2}$.
C. $q=-2$.
D. $q=2$.

Lời giải câu 2
Công bội của cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ là $q=\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{-8}{4}=-2$.

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(1 ;+\infty)$.
B. $(1 ; 3)$.
C. $(-\infty ; 1)$.
D. $(-1 ; 1)$.

Lời giải câu 3
Dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$, hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên từng khoảng $(-1;1)$ và $(3;+\infty)$.

Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $2021$.
D. $2020$.

Lời giải câu 4
Hàm số đạt cực đại tại $x_{\text{CĐ}}=0$ và có giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}=2021$.

Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(2;5)$ bằng
A. $-1$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $7$.

Lời giải câu 5
Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(2;5)$ bằng $7$.

Câu 6. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x}$ có đường tiệm cận ngang là
A. $y=-1$.
B. $y=0$.
C. $y=\dfrac{1}{2}$.
D. $y=2$.

Lời giải câu 6
Ta có $\displaystyle \lim \limits_{x\to +\infty} y = \lim \limits_{x\to -\infty} y = 2$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=2$.

Câu 7. Cho $a>0$ và $a\ne 1$, $\log_a 3a$ bằng
A. $1+\log_a 3$.
B. $-\log_a 3$.
C. $\log_a 3$.
D. $\log_a 3-1$.

Lời giải câu 7
Ta có $\log_a 3a = \log_a 3+ \log_a a = 1 +\log_a 3$.

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số $y=\log_{5} x$.
A. $y'=\dfrac{x}{\ln 5}$.
B. $y'=\dfrac{\ln 5}{x}$.
C. $y'=\dfrac{1}{x \ln 5}$.
D. $y'=\dfrac{1}{x}$.

Lời giải câu 8
Ta có $y'=\dfrac{1}{x \ln 5}$.

Câu 9. Nghiệm của phương trình $\ln x=1$ là
A. $x=1$.
B. $x=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
C. $x=\mathrm{e}^2$.
D. $x=\mathrm{e}$.

Lời giải câu 9
Ta có $\ln x=1 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}$.

Câu 10. Mô-đun của số phức $z=8-6 i$ bằng
A. $10$.
B. $\sqrt{14}$.
C. $14 $.
D. $2$.

Lời giải câu 10
Mô-đun của số phức $z=8-6 i$ là $|z|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10$.

Câu 11. CHÈN HÌNH CÂU 11
Khối bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A. $8$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $14$.

Lời giải câu 11
{Khối bát diện đều có $12$ cạnh.}

Câu 12. Mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $6$. Thể tích của khối cầu $S$ là
A. $V=72\pi$.
B. $V=288\pi$.
C. $V=36\pi$.
D. $V=144\pi$.

Lời giải câu 12
Thể tích của khối cầu $S$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=288\pi$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho véc-tơ $\overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$. Tọa độ của điểm $M$ là
A. $(-2;-3;1)$.
B. $(2;3;0)$.
C. $(2;3;1)$.
D. $(2;3;-1)$.

Lời giải câu 13
Theo định nghĩa tọa độ của một điểm, ta có tọa độ điểm $M$ là $(2;3;-1)$.

Câu 14. Trong không gian $\mathrm{O} x y z$, cho mặt cầu $(S)\colon (x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=8$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng
A. $4$.
B. $8$.
C. $2 \sqrt{2}$.
D. $2$.

Lời giải câu 14
Ta có $R^{2}=8 \Rightarrow R=2 \sqrt{2}$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $O$ và có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;0;-2)$ là
A. $x+y-2z=0$.
B. $x-2z=0$.
C. $x-2y=0$.
D. $x-y+2z=0$.

Lời giải câu 15
Phương trình mặt phẳng $(P)$ cần tìm là $x-2z=0$.

Câu 16. Chọn ngẫu nhiên một số trong $8$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số là nghiệm của phương trình $x^2-x-6=0$ bằng
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. $\dfrac{1}{8}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $0$.

Lời giải câu 16
Tập $8$ số nguyên dương đầu tiên là $S = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=\mathrm{C}_8^1=8$.
Gọi $A$ là biến cố: \lq\lq\,Số được chọn là nghiệm của phương trình $x^2-x-6=0$.\rq\rq
Phương trình $x^2-x-6=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \,\in S\\&x=-2 \,\notin S \end{aligned}\right.$ nên $n(A)=1$.
Vậy xác suất của biến cố $A$ là $\mathrm{P}(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{1}{8}$.

Câu 17. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2mx^2+4x+m-5$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. $0$.
B. $2$.
C. $-1$.
D. $1$.

Lời giải câu 17
Tập xác định của hàm số $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $f'(x) = x^2-4mx+4$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi \begin{eqnarray*} & & f'(x) \ge 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x^2-4mx+4 \ge 0, \ \forall x \in \mathbb{R}
& \Leftrightarrow & \left\{\begin{aligned}& a>0 \\ & \Delta'\le 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& 1 > 0 \\ & 4m^2 - 4 \le 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow -1\le m\le 1. \end{eqnarray*} Mà $m\in\mathbb{Z}\Rightarrow m\in\{-1;0;1\}$. Suy ra $S=\{-1;0;1\}$.
Vậy ta có tổng các phần tử của $S$ bằng $-1+0+1=0$.

Câu 18. Hàm số nào dưới đây có đúng một cực trị?
A. $y=\dfrac{x-1}{x}$.
B. $y=x^4+2x^2+1$.
C. $y=-x^4+x^2-3$.
D. $y=x^3-3x^2+3x-2$.

Lời giải câu 18
Hàm số $y=x^4+2x^2+1$ có $a=1$, $b=2$ và $ab=2>0$ nên có đúng một cực trị.

Câu 19. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


A. $y=x^3-3x+1$.
B. $y=\dfrac{x-1}{x+1}$.
C. $y=2x^4+x^2+1$.
D. $y=\dfrac{x+2}{x+1}$.
}

Lời giải câu 19
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy đây là đồ thị hàm số có dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Từ đó ta thấy hàm số phù hợp là $y=\dfrac{x-1}{x+1}$.

Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số $y=\left(x^2 - 9 \right)^{-4}$.
A. $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
B. $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-3;3\}$.
C. $\mathscr{D}=(-3;3)$.
D. $\mathscr{D}=(-\infty;-3) \cup (3;+\infty)$.

Lời giải câu 20
Hàm số xác định khi $x^2-9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 3$.
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-3;3\}$.

Câu 21. Nghiệm của phương trình $2^{3 x-1}=8$ là
A. $x=3$.
B. $x=\dfrac{4}{3}$.
C. $x=\dfrac{2}{3}$.
D. $x=1$.

Lời giải câu 21
Ta có $2^{3 x-1}=8 \Leftrightarrow 3 x-1=3 \Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$.

Câu 22. Bất phương trình $\log _{2021} x< 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. Vô số.
B. $2020$.
C. $0$.
D. $2021$.

Lời giải câu 22
Ta có $\log _{2021} x< 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& x>0 \\ & x< 2021 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow 0< x< 2021$.
Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in\{1;2;\cdots;2020\}$.
Vậy bất phương trình có $2020$ nghiệm nguyên.

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 x}}$.
A. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{2 x}} \mathrm{\,d} x=2 \sqrt{2 x}+C$.
B. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{2 x}} \mathrm{\,d} x=2 \sqrt{x}+C$.
C. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{2 x}} \mathrm{\,d} x=\sqrt{2 x}+C$.
D. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{2 x}} \mathrm{\,d} x=\sqrt{x}+C$.

Lời giải câu 23
Ta có $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2 x}} \mathrm{\,d} x =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \displaystyle\int x^{-\frac{1}{2}} \mathrm{\,d} x =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\dfrac{1}{2}+1}+C =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{x}+C =\sqrt{2 x}+C$.

Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x+1$.
A. $\displaystyle \int (\sin x + 1) \mathrm{\,d} x=-\cos x + x + C$.
B. $\displaystyle \int (\sin x + 1) \mathrm{\,d} x=\cos x - x + C$.
C. $\displaystyle \int (\sin x + 1) \mathrm{\,d} x=\cos x + x + C$.
D. $\displaystyle \int (\sin x + 1) \mathrm{\,d} x=-\cos x - x + C$.

Lời giải câu 24
Ta có $\displaystyle \int (\sin x + 1) \mathrm{\,d} x=-\cos x + x + C$.

Câu 25. Tính $\displaystyle I=\int \limits_{0}^{\ln 2} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{\,d} x$.
A. $1$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $3$.

Lời giải câu 25
Ta có $I=\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{\,d} x =\left.\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}\right|_{0} ^{\ln 2} =\dfrac{3}{2}$.

Câu 26. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Phương trình $f(x)+1=0$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.

Lời giải câu 26
{Ta có $f(x)+1=0\Leftrightarrow f(x)=-1$.
Số nghiệm của phương trình $f(x)+1=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số $\left\{\begin{aligned}& y = f(x) \\ & y = -1. \end{aligned}\right.$
Căn cứ vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(x)+1=0$ có $3$ nghiệm phân biệt. }

Câu 27. Cho $\displaystyle \int \limits_{3}^{15} f(x) \mathrm{\,d} x=216$. Tính $\displaystyle I=\int \limits_{1}^{5}[f(3 x)-4 x] \mathrm{\,d} x$.
A. $I=72$.
B. $I=48$.
C. $I=120$.
D. $I=24$.

Lời giải câu 27
Ta có \begin{eqnarray*} & I & =\displaystyle\int \limits_{1}^{5}[f(3 x)-4 x] \mathrm{\,d} x = \displaystyle\int \limits_{1}^{5} f(3 x) \mathrm{\,d} x-4 \int \limits_{1}^{5} x \mathrm{\,d} x
& & =\dfrac{1}{3} \displaystyle\int \limits_{3}^{15} f(t) \mathrm{\,d} t-4\cdot \dfrac{x^{2}}{2} \Bigg|_{1} ^{5} =\dfrac{1}{3} \cdot 216-4\cdot 12
&&=24. \end{eqnarray*}

Câu 28. Cho $\displaystyle \int \limits_0^1 f(x) \mathrm{\,d} x = 1$, $\displaystyle \int \limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d} x = 3$. Tính $\displaystyle \int \limits_0^2 f(x) \mathrm{\,d} x$.
A. $I=3$.
B. $I=-2$.
C. $I=2$.
D. $I=4$.

Lời giải câu 28
Ta có $\displaystyle \int \limits_0^2 f(x) \mathrm{\,d} x = \int \limits_0^1 f(x) \mathrm{\,d} x + \int \limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d} x = 1 + 3 = 4$.

Câu 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x^{2}-4 x+3$ và trục hoành.
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $0$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.

Lời giải câu 29
Ta có $x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x= 1 \\ & x = 3. \end{aligned}\right.$
Diện tích hình phẳng cần tính là \[S=\int \limits_{1}^{3}\left|x^{2}-4 x+3\right| \mathrm{\,d} x =\int \limits_{1}^{3}\left(-x^{2}+4 x-3\right) \mathrm{\,d} x =\frac{4}{3}.\]

Câu 30. Cho hai số phức $z_1=3+5i$, $z_2=6-i$ và $z=z_1+z_2$. Điểm biểu diễn của số phức $z$ là
A. $K(-3;6)$.
B. $N(9;4)$.
C. $H(6;9)$.
D. $M(3;-6)$.

Lời giải câu 30
Ta có $z=z_1+z_2=3+5i+6-i=9+4i$.
Vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là $N(9;4)$.

Câu 31. Cho số phức $z=\dfrac{3-2 i}{i}$. Số phức liên hợp của $z$ là
A. $\overline{z}=2+3 i$.
B. $\overline{z}=2-3 i $.
C. $\overline{z}=-2+3 i $.
D. $\overline{z}=-2-3 i$.

Lời giải câu 31
Ta có $z=\dfrac{3-2 i}{i}=\dfrac{(3-2 i)\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}=-2-3 i \Rightarrow \overline{z}=-2+3 i$.

Câu 32. Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2}-3 z+5=0$. Tính $T=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|$.
A. $T=-1$.
B. $T=-2$.
C. $T=4$.
D. $T=-6$.

Lời giải câu 32
Ta có $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-3z+5=0$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có \[\left\{\begin{aligned}& z_1 + z_2 = 3 \\ & z_1 \cdot z_2 = 5. \end{aligned}\right.\] Từ đó ta có \begin{eqnarray*} & T & = \left( z_1 + z_2 \right)^2 - 2z_1 z_2 - \left| z_1 z_2 \right|
& & = 3^2-2\cdot 5 -|5|=-6. \end{eqnarray*}

Câu 33. CHÈN HÌNH CÂU 33
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $SA=AB=a$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
A. $V=\dfrac{a^{3}}{3}$.
B. $V=\dfrac{a^{3}}{6}$.
C. $V=\dfrac{a^{3}}{2}$.
D. $V=\dfrac{a^{3}}{2}$.

Lời giải câu 33
{ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $ V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\dfrac{a^3}{3}$. }

Câu 34. CHÈN HÌNH CÂU 34
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Quay hình vuông $ABCD$ quanh cạnh $AB$ được một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ $(T)$ bằng
A. $\pi a^{3}$.
B. $\pi a^2$.
C. $4 \pi a^{2}$.
D. $2 \pi a^{2}$.

Lời giải câu 34
{Vì quay hình vuông $ABCD$ quanh cạnh $AB$ được một hình trụ nên $r=a$; $h=a$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{\text{xq}}=2 \pi r h=2 \pi \cdot a \cdot a=2 \pi a^{2} .$ }

Câu 35. Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=(1;2;-1)$, $\overrightarrow{v}=(1;-1;2)$. Góc giữa hai véc-tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là
A. $60^\circ$.
B. $90^\circ$.
C. $30^\circ$.
D. $120^\circ$.

Lời giải câu 35
Ta có \[ \cos \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u}\right| \cdot \left| \overrightarrow{v} \right|} = \dfrac{1\cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}} =-\dfrac{1}{2}.\] Suy ra $\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)=120^\circ$.

Câu 36. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $G(1;-2;-5)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các trục toạ độ $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $\triangle ABC$. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là
A. $\overrightarrow{n}=(-10;5;2)$.
B. $\overrightarrow{n}=(1;2;-5)$.
C. $\overrightarrow{n}=(10;5;2)$.
D. $\overrightarrow{n}=(1;-2;-5)$.

Lời giải câu 36
Ta có $(ABC) \colon$ $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ đi qua $A(a;0;0) \in Ox$, $B(0;b;0) \in Oy$, $C(0;0;c) \in Oz$.
$G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\&y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\\&z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=3\\&b=-6\\&c=-15. \end{aligned}\right.$
Vậy $(ABC) \colon \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{-6}+\dfrac{z}{-15}=1 \Leftrightarrow (ABC) \colon 10x-5y-2z-30=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}=(10;-5;-2)$.

Câu 37. Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)\colon x+2y-2z+3=0$ và điểm $M(3;1;4)$. Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(P)$. Tính $S=a+b+c$.
A. $S=8$.
B. $S=0$.
C. $S=1$.
D. $S=-5$.

Lời giải câu 37
Ta có $M(3;1;4)\in (P)\Rightarrow H \equiv M \Rightarrow a=3;\ b = 1;\ c=4$.
Vậy $S=3+1+4=8$.

Câu 38. CHÈN HÌNH CÂU 38
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SC$. Góc giữa hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(ABC)$ bằng
A. $45^\circ$.
B. $60^\circ$.
C. $30^\circ$.
D. $90^\circ$.

Lời giải câu 38
{ Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AI \perp BC$ (do $\triangle ABC$ đều).
Lại có $ \triangle SAB = \triangle SAC$ (c.g.c) suy ra $SB = SC$.
Khi đó $\triangle SBC$ cân tại $S$ nên $SI \perp BC$.
Ta có $\left\{\begin{aligned}& (SBC) \cap (ABC) = BC \\& AI \perp BC \\& SI \perp BC \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow$ $\left( (SBC);(ABC)\right) = \left( AI,SI\right) = 45^\circ$.
Suy ra $\triangle SAI$ vuông cân tại $A$. } Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $SI$ suy ra $E$ là trung điểm của $MN$ và $SI$.
Ta có $MN \parallel BC \Rightarrow MN \perp SI$ mà $SI \perp AE$ (do $\triangle SAI$ vuông cân) suy ra $SI \perp (AMN)$.
Vì $SI \perp (AMN)$ và $SA \perp (ABC)$ nên $\left( (AMN),(ABC)\right) =(SI,SA)=\widehat{ASI} = 45^\circ$.

Câu 39. CHÈN HÌNH CÂU 39
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^\circ$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(SAB)$.
A. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{24}$.
D. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}$.

Lời giải câu 39
{ Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ thì $SO \perp (ABCD)$.
Gọi $E$; $F$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $SD$.
$\Rightarrow OE \perp AB$; $SO \perp AB$ $\Rightarrow AB \perp (SEO)$.
$\Rightarrow ((SAB),(ABCD))=(SE,OE)=\widehat{SEO}=60^{\circ}$.
Ta có $SO=OE \cdot \tan 60^{\circ}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$SE=\dfrac{OE}{\cos 60^{\circ}}=a$ $\Rightarrow$ $SD=\sqrt{SO^2+OD^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong $(SBD)$ kẻ đường thẳng đi qua $F$, vuông góc với $SD$, cắt $SO$ tại $I$. } {\vspace{-0.5cm} } $\Rightarrow$ $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Mặt cầu này có bán kính $R=IS$.
Dễ thấy $\triangle FIS \backsim \triangle ODS$ $\Rightarrow \dfrac{IS}{DS}=\dfrac{SF}{SO}$ $\Rightarrow R=IS=\dfrac{SD \cdot SF}{SO}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}$.
Trong $(SOE)$ kẻ $IH \perp SE$ tại $H$.
Do $AB \perp (SEO)$ nên $AB \perp IH$. Do đó $IH \perp (SAB)$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}(I,(SAB))=IH$.
Dễ thấy $\triangle SHI \backsim \triangle SOE$ $\Rightarrow$ $\dfrac{IH}{OE}=\dfrac{IS}{SE}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}(I,(SAB))=IH=\dfrac{OE \cdot IS}{SE}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{24}$.
\textbf{Nhận xét:} Ở bài toán này sau khi xác định được tâm $I$ ta có thể tiết kiệm thời gian tính bán kính bằng việc áp dụng công thức tính nhanh sau:
\centerline{ $R= \dfrac{\sqrt{\left[\left(r_d+d\right)^2 +h^2\right] \cdot \left[\left(r_d-d\right)^2 +h^2\right]}}{2h}$.} \begin{tabular}{ll} Trong đó: & $r_d$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy\\ & $d$ là khoảng cách từ chân hình chiếu đến tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy\\ & $h$ là độ dài đường cao. \end{tabular}
Áp dụng vào bài toán này ta có $r_d= OB = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$; $h= SO= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$; $d=0$ (do chân hình chiếu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy).
Thay số ta có $SI=R = \dfrac{\sqrt{\left[ \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\right] \cdot \left[ \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\right]}}{2\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{5a\sqrt{3}}{12}$.
Sau khi tìm ra độ dài bán kính ta ta tiếp tục tính khoảng cách từ $I$ đến $(SAB)$ như đã trình bày ở trên.

Câu 40. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị của đạo hàm $f'(x)$ là đường cong như hình vẽ bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f\left(x^2-2\right)-4x^2+2021$ trên đoạn $[-1;2]$ bằng
A. $f(0)+2013$.
B. $f(2)+2005$.
C. $f(-1)+2017$.
D. $f(-2)+2021$.
{\vspace{-0.5cm} }

Lời giải câu 40
Xét $g(x)=f(x^2-2)-4x^2+2021 \Rightarrow g'(x)=2x \cdot f'(x^2-2)-8x,\,\forall x \in [-1;2]$, ta có
$g'(x)=0 \Leftrightarrow x\left[f'(x^2-2)-4\right]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&f'(x^2-2)=4 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x^2-2=-1\\&x^2-2=2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x= -1\\&x = 1\\&x = -2 \,\text{(loại)} \\&x = 2. \end{aligned}\right.$
Bảng biến thiên
\centerline Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)$ bằng $g(0)=f(-2)+2021$.

Câu 41. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ dương và không vượt quá $2021$ thỏa mãn phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\sin^2x}+\dfrac{1}{2}=\cos 2x+\log_4\left(3\cos 2x-1\right)$. Số phần tử của $S$ là
A. $643$.
B. $1010$.
C. $505$.
D. $1286$.

Lời giải câu 41
Điều kiện xác định là $3\cos 2x-1 >0 \Leftrightarrow \cos 2x >\dfrac{1}{3}$.
Ta có\begin{eqnarray*} &&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\sin^2x}+\dfrac{1}{2}=\cos 2x+\log_4\left(3\cos 2x-1\right)
&\Leftrightarrow & 2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\sin^2x}+1=2 \cos 2x+2\log_4\left(3\cos 2x-1\right)
&\Leftrightarrow & 2^{1-2\sin^2x}+1=2 \cos 2x+\log_2\left(3\cos 2x-1\right)
&\Leftrightarrow & 2^{\cos 2x}+\cos 2x=3 \cos 2x-1+\log_2\left(3\cos 2x-1\right)
&\Leftrightarrow & 2^{\cos 2x}+\cos 2x=2^{\log_2\left(3\cos 2x-1\right)} + \log_2\left(3\cos 2x-1\right) \quad(1) \end{eqnarray*} Xét hàm số đặc trưng $h(t)=2^t+t$ trên $\mathbb{R}$.
Do $h'(t)=2^t \cdot \ln 2+1>0,\,\forall t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow h(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nên $(1) \Leftrightarrow \cos 2x=\log_2\left(3\cos 2x-1\right) \Leftrightarrow 3\cos 2x-1=2^{\cos 2x}$.
Đặt $t=\cos 2x$, $t \in \left( \dfrac{1}{3};1\right]$. Phương trình trở thành $3t-1=2^t$.
Dễ thấy $t=1$ là nghiệm của phương trình, ta chứng minh nghiệm này duy nhất.
Thật vậy, xét hàm số $f(t)=3t-1-2^t \Rightarrow f'(t)=3-2^t \cdot \ln 2$.
Nhận xét $t \in \left( \dfrac{1}{3};1\right] \Rightarrow 2^t \in \left(\sqrt[3]{2};2\right] \Rightarrow 2^t \cdot \ln 2< 3 \Rightarrow f'(t)>0,\,\forall t \in \left( \dfrac{1}{3};1\right]$.
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\left( \dfrac{1}{3};1\right]$.
$\Rightarrow f(t)=0$ có nghiệm duy nhất $t=1$ (thỏa mãn điều kiện).
Ta có $\cos 2x=1 \Leftrightarrow x=k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.
Do $0< x \leq 2021$ nên $0< k \leq 643,3 \Rightarrow k \in \{1;2;\ldots;643\}$.
Vậy có $643$ giá trị $x$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 42. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;4]$ và có đồ thị gồm một phần parabol hợp với một đoạn thẳng như hình vẽ bên.

Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^4| f'(x)|\mathrm{\,d}x$.
A. $I=4$.
B. $I=10$.
C. $I=5$.
D. $I=-2$.
} {\vspace{-0.5cm} }

Lời giải câu 42
Nhìn vào đồ thị ta thấy $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(0;1)$ và $(2;4)$. $f(x)$ đồng biến trên $(1;2)$. Ta có $\begin{aligned}[t] I&=\displaystyle\int\limits_0^4\left|f'(x)\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1\left|f'(x)\right|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^2\left|f'(x)\right|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_2^4\left|f'(x)\right|\mathrm{\,d}x\\&=-\displaystyle\int\limits_0^1f'(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^2f'(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_2^4f'(x)\mathrm{\,d}x=-f(x)\bigg|_0^1+f(x)\bigg|_1^2-f(x)\bigg|_2^4\\&=-[f(1)-f(0)]+[f(2)-f(1)]-[f(4)-f(2)]\\&=-(2-3)+(3-2)-(1-3)=4.\end{aligned}$

Câu 43. Để chào mừng xã đạt chuẩn nông thôn mới. Uỷ ban nhân dân xã X tiến hành ốp gạch trang trí \textbf{hai bên bề mặt cổng chào} vào xã. Cổng chào được thiết kế như hình bên với các đường viền công là dạng đường parabol.

Biết rằng tiền vật liệu cho một mét vuông bề mặt cổng bằng $1.000.000$ đồng và tiền công thợ cho một mét vuông là $200.000$ đồng. Tổng kinh phí trang trí cổng chào bằng
A. $40.500.000$ đồng.
B. $81.000.000$ đồng.
C. $22.400.000$ đồng.
D. $44.800.000$ đồng.
}

Lời giải câu 43
$\star$ \textbf{Cách $1$}:
Áp dụng công thức tính diện tích Parabol có độ rộng đáy là $l$ và chiều cao là $h$ có $S=\dfrac{2}{3}lh$.
Diện tích của phần cần trang trí
\centerline{ $S_{\text{trang trí}}=2\left(S_L-S_N\right)=2\left(\dfrac{2}{2}\cdot 8\cdot 8-\dfrac{2}{3}\cdot 6\cdot 6\right)=\dfrac{112}{3}$m$^2$.} Vì tiền vật liệu cho một mét vuông bề mặt cổng bằng $1.000.000$ đồng và tiền công thợ cho một mét vuông là $200.000$ đồng nên số tiền cần trả là
\centerline{ $\dfrac{112}{3} \cdot (1.000.000+200.000)=44.800.000$ (đồng).} $\star$ \textbf{Cách $2$}: Giả sử phương trình của parabol có dạng $y=ax^2+bx+c$ $(a\ne 0)$. Với parabol viền trên của cổng chào, ta có
$y(0)=0$; $y(4)=8$; $y(8)=0 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2};\,b=4;\,c=0 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x^2+4x$. Với parabol viền dưới của cổng chào, ta có
$y(1)=0$; $y(4)=6$; $y(7)=0 \Rightarrow a=-\dfrac{2}{3};\,b=\dfrac{16}{3};\,c=-\dfrac{14}{3} \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{16}{3}x-\dfrac{14}{3}$. Gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng $\left\{y=-\dfrac{1}{2}x^2+4x;y=0;x=0;x=8\right\}$, ta có \[S_1=\displaystyle\int\limits_0^8\left(-\dfrac{1}{2}x^2+4x\right)\mathrm{\,d}x=\left(-\dfrac{1}{6}x^3+2x^2\right)\bigg|_0^8=\dfrac{128}{3}.\] Gọi $S_2$ là diện tích của hình phẳng $\left\{y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{16}{3}x-\dfrac{14}{3};y=0,x=1;x=7\right\}$, ta có \[S_2=\displaystyle\int\limits_1^7\left(-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{16}{3}x-\dfrac{14}{3}\right)\mathrm{\,d}x=\left(-\dfrac{2}{9}x^3+\dfrac{8}{3}x^2-\dfrac{14}{3}x\right)\bigg|_1^7=24.\] Gọi $S$ là diện tích một bên mặt của cổng chào thì diện tích hai mặt của cổng chào là \[2S=2(S_1-S_2)=2\left(\dfrac{128}{3}-24\right)=\dfrac{112}{3}\left(\text{m}^2\right).\] Chi phí vật liệu và công thợ cho một mét vuông cổng chào là $1.200.000$ đồng.
Do đó, tổng chi phí là $1.200.000 \cdot\dfrac{112}{3}=44.800.000$ đồng.

Câu 44. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $(z+i)^2 + |z-2|^2 = 2(\overline{z}-3i)^2$?
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.

Lời giải câu 44
Giả sử $z= x+yi$, $(x, y \in \mathbb{R})$.
Khi đó \begin{eqnarray*} & &(z+i)^2 + |z-2|^2 = 2(\overline{z}-3i)^2
& \Leftrightarrow & [x + (y+1)i]^2 + |(x-2) + yi|^2 = 2[x - (y+3)i]^2
& \Leftrightarrow & x^2 +2x(y+1)i -(y+1)^2 + (x-2)^2 + y^2 = 2x^2 -4x(y+3)i -2(y+3)^2
& \Leftrightarrow & \left\{\begin{aligned}& x^2 - (y+1)^2 + (x-2)^2 + y^2 = 2x^2 - 2(y+3)^2\\& 2x(y+1) = -4x(y+3) \end{aligned}\right.
& \Leftrightarrow & \left\{\begin{aligned}& 2y^2 + 10y + 21 = 4x \\& 2x(3y+7) = 0 \end{aligned}\right.
& \Leftrightarrow & \left\{\begin{aligned}& 2y^2 + 10y + 21 = 4x \quad (1) \\& \left[\begin{aligned}& x = 0 \\& y = -\dfrac{7}{3}. \end{aligned}\right. \end{aligned}\right.
\end{eqnarray*} Với $x = 0$ thay vào phương trình $(1)$ ta được $2y^2 + 10y + 21 = 0$ (vô nghiệm). Với $y = -\dfrac{7}{3}$ thay vào phương trình $(1)$ ta được $x = \dfrac{77}{36}$. Vậy có duy nhất $z = \dfrac{77}{36} - \dfrac{7}{3}i$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 45. CHÈN HÌNH CÂU 45
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\big|z+1-i\big|=\big|z+3+i\big|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\big|z-2+2i\big|+\big|z-3-4i\big|$.
A. $\sqrt{37}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{73}}{11}$.
C. $\sqrt{73}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{37}}{4}$.

Lời giải câu 45
{ Đặt $z=x+yi$ $(x,y \in \mathbb{R})$. Ta có
\centerline{ $\begin{aligned} &\big|z+1-i\big|=\big|z+3+i\big|\\ \Leftrightarrow &\big|x+1+(y-1)i\big|=\big|x+3+(y+1)i\big|\\ \Leftrightarrow &(x+1)^2+(y-1)^2=(x+3)^2+(y+1)^2\\ \Leftrightarrow &x+y+2=0. \end{aligned}$} Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ thì
\centerline{ $M \in \Delta \colon x+y+2=0$.} Gọi $A(2;-2)$, $B(3;4)$ thì $T=MA+MB$.
Ta thấy $A$, $B$ cùng phía so với $\Delta$.
Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta \Rightarrow A'(0;-4)$.
Khi đó $MA+MB=MA'+MB \geq A'B$. } \vspace{0.2 cm} Dấu \lq\lq$=$\rq\rq\, xảy ra khi $M$, $A'$, $B$ thẳng hàng hay $M \equiv M_0=\Delta \cap A'B$.
Vậy $\min T=A'B=\sqrt{73}$.

Câu 46. CHÈN HÌNH CÂU 46
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, góc giữa $A'C$ và mặt phẳng $(BDD'B')$ bằng $60^\circ$. Thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ là
A. $V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$.
B. $V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{2}$.
C. $V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.
D. $a^3\sqrt{6}$.

Lời giải câu 46
{ Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của đáy $ABCD$ và $A'B'C'D'$.
Gọi $I$ là giao điểm của $A'C$ và $OO'$.
Ta có $\left\{\begin{aligned}& OC \perp BD \\& OC \perp BB' \end{aligned}\right. \Rightarrow OC \perp (BDD'B')$.
Suy ra góc giữa $A'C$ và mặt phẳng $(BDD'B')$ là $\widehat{CIO} = 60^\circ$.
Xét tam giác vuông $OIC$ có
$\tan 60^\circ = \dfrac{OC}{OI} \Rightarrow OI = \dfrac{OC}{\tan 60^\circ} = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Khi đó $AA' = OO' = 2OI = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$. } Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ là $V = AA' \cdot S_{ABCD} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \cdot a^2 = \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{3}$.

Câu 47. CHÈN HÌNH CÂU 47
Cho hình nón $(N)$ có đường cao $h = a\sqrt{3}$, bán kính đáy $r =2a$. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng $(P)$ qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc $45^\circ$. Diện tích thiết diện tạo thành là
A. $S = a^2\sqrt{3}$.
B. $S = a^2\sqrt{6}$.
C. $S=2a^2$.
D. $S = 2a^2\sqrt{6}$.

Lời giải câu 47
{Gọi hình nón $(N)$ có đỉnh là $S$ và đáy là đường tròn tâm $O$.
Khi đó $SO = h =a\sqrt{3}$ và $OA = r= 2a$.
Giả sử mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$ và cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$, khi đó thiết diện tạo thành là $\triangle SAB$ cân tại $S$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $OI \perp AB$ mà $SO \perp AB \Rightarrow AB \perp (SOI)$ $\Rightarrow AB \perp SI$. } Do đó góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SIO} = 45^\circ$.
Ta có $OI = SO = a\sqrt{3} \Rightarrow SI = a\sqrt{6}$.
Lại có $AI = \sqrt{OA^2 - OI^2} = a \Rightarrow AB = 2AI = 2a$.
Vậy diện tích thiết diện tạo thành là $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}SI \cdot AB = \dfrac{1}{2}a\sqrt{6} \cdot 2a = a^2\sqrt{6}$.

Câu 48. Trong không gian $Oxyz$, cho $K(3;-2;1)$ và mặt cầu $(S) \colon x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 6z - 6 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $K$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN$ lớn nhất
A. $\Delta \colon \left\{\begin{aligned}& x = 1 + 3t \\& y = -2t \\& z = -3 + t \end{aligned}\right.$.
B. $\Delta \colon \left\{\begin{aligned}& x = 3 + t \\& y = -2 + t \\& z = 1+ 2t \end{aligned}\right.$.
C. $\Delta \colon \left\{\begin{aligned}& x = 1 + t \\& y = -t \\& z = -3 + 2t \end{aligned}\right.$.
D. $\Delta \colon \left\{\begin{aligned}& x = 3 + t \\& y = -2 + 2t \\& z = 1 + t \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 48
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 6} = 4$.
Ta có $\vec{IK} = (2;-2;4)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $K$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại $2$ điểm $M$ và $N$ sao cho độ dài đoạn $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ là đường kính của mặt cầu. Khi đó, $\Delta$ đi qua tâm $I(1;0;-3)$ của mặt cầu nên $\Delta$ nhận $\vec{u} = \dfrac{1}{2} \vec{IK} = (1;-1;2)$ làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $ \left\{\begin{aligned}& x = 1 + t \\& y = -t \\& z = -3 + 2t. \end{aligned}\right.$

Câu 49. Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị của đạo hàm $f'(x)$ là đường cong như hình bên và $f(0) = -1$.

Hàm số $g(x) = |f(x^2)+1|$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. $7$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $3$.
}

Lời giải câu 49
Xét hàm số $h(x)=f(x^2)+1$.
Ta có $h'(x)=2xf'(x^2)$. Khi đó $h'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 0 \\& f'(x^2)=0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 0 \\& x^2 = -1 (\text{vô nghiệm}) \\& x^2 = 1 \\& x^2 = 4 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 0 \\& x = \pm 1 \\& x = \pm 2. \end{aligned}\right.$
Bảng biến thiên của hàm số $h(x)$ Theo giả thiết $f(0)=-1$ suy ra $h(0)=0$.
Quan sát đồ thị ta thấy \begin{eqnarray*} & & \displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x < \displaystyle\int\limits_1^4 -f'(x)\mathrm{\,d}x
& \Leftrightarrow & f(1) - f(0) < -[f(4) - f(1)]
& \Leftrightarrow & f(4) < f(0)
& \Leftrightarrow & f(4) < -1
& \Leftrightarrow & f(4)+1 < 0
& \Rightarrow & h(-2) = h(2) < 0. \end{eqnarray*} Vậy số cực tiểu của hàm số $g(x)=|h(x)|$ là $5$.

Câu 50. Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(N)$ có đỉnh $S(3;-1;4)$ và tâm đường tròn đáy là $I(9;2;-2)$. Hình trụ $(T)$ có một đường tròn đáy tâm $I$, đường tròn đáy còn lại có tâm $J$ và nằm trên mặt xung quanh của hình nón $(N)$. Khi $(T)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn tâm $J$ có phương trình dạng $2x + by + cz + d = 0$. Tính $P = b\cdot c \cdot d$.
A. $P = -10$.
B. $P = 30$.
C. $P = -30$.
D. $P = 10$.

Lời giải câu 50
{Gọi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đáy của hình nón $(N)$ và hình trụ $(T)$.
Ta có $\vec{SI} = (6;3;-6)$. Chiều cao của hình nón $(N)$ là $SI = 9$.
Theo định lí Ta-lét ta có
$\dfrac{SI}{R} = \dfrac{SJ}{r} = \dfrac{SI - SJ}{R - r} = \dfrac{IJ}{R-r} \Rightarrow IJ = \dfrac{SI \cdot (R-r)}{R} = \dfrac{9(R-r)}{R}$. }{ } Thể tích khối trụ $(T)$ là $V=\pi \cdot r^2 \cdot IJ=\pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{9(R-r)}{R} = \dfrac{9\pi}{R}\left(Rr^2 - r^3\right)$.
Thể tích khối khụ $(T)$ lớn nhất khi $Rr^2 -r^3$ lớn nhất.
Xét hàm số $f(r) = Rr^2 -r^3$ với $(0< r< R)$.
Ta có $f'(r)=2Rr - 3r^2$. Suy ra $f'(r)=0 \Leftrightarrow r = \dfrac{2R}{3}$.
Bảng biến thiên của hàm số $f(r)$ như sau Ta thấy thể tích khối trụ $T$ lớn nhất khi $r = \dfrac{2R}{3}$.
Suy ra $SJ = \dfrac{2}{3}SI \Rightarrow \vec{SJ} = \dfrac{2}{3} \vec{SI} \Rightarrow \vec{OJ} = \dfrac{1}{3} \vec{OS} + \dfrac{2}{3} \vec{OI}$. Do đó $J(7;1;0)$.
Vậy mặt phẳng chứa đường tròn tâm $J$ đi qua $J(7;1;0)$ và nhận véc-tơ $\vec{n} = \dfrac{1}{3} \vec{SI} = (2;1;-2)$ làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là $2(x-7)+(y-1)-2(z-0)=0 \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 15 =0$.
Suy ra $b = 1$ ; $c=-2$ và $d=-15$ $\Rightarrow P = b \cdot c \cdot d = 1 \cdot (-2) \cdot (-15) = 30$.

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!