Nguyên Hàm

Thời gian làm bài:

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos3x$.
A. $\displaystyle\int \cos3x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\sin3x+C$.
B. $\displaystyle\int \cos3x\mathrm{d}x=3\sin3x+C$.
C. $\displaystyle\int \cos3x\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{3}\sin3x+C$.
D. $\displaystyle\int \cos3x\mathrm{d}x=\sin3x+C$.

Lời giải câu 1
Ta có $\displaystyle\int \cos3x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\sin3x+C$.

Câu 2. Tìm nghuyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=7^x$.
A. $\displaystyle\int 7^x \mathrm{\,d}x=7^x\ln7+C$.
B. $\displaystyle\int 7^x \mathrm{\,d}x=7^{x+1}+C$.
C. $\displaystyle\int 7^x \mathrm{\,d}x=\dfrac{7^x}{\ln7}+C$.
D. $\displaystyle\int 7^x \mathrm{\,d}x=\dfrac{7^{x+1}}{x+1}+C$.

Lời giải câu 2
$\displaystyle\int 7^x \mathrm{\,d}x=\dfrac{7^x}{\ln7}+C$.

Câu 3. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\int kf(x) \mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x) \mathrm{\,d}x,~k\in \mathbb{R}$.
B. $\displaystyle\int f(x)\cdot g(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x) \mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x) \mathrm{\,d}x$.
C. $\displaystyle\int \left[f(x)+ g(x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x) \mathrm{\,d}x+ \displaystyle\int g(x) \mathrm{\,d}x$.
D. $\displaystyle\int \left[f(x)- g(x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x) \mathrm{\,d}x- \displaystyle\int g(x) \mathrm{\,d}x$.

Lời giải câu 3
$\displaystyle\int f(x)\cdot g(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x) \mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x) \mathrm{\,d}x$ là khẳng định sai.

Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2$ là
A. $\dfrac{x^3}{2}+C$.
B. $x^3+C$.
C. $\dfrac{x^3}{3}+C$.
D. $3x^3+C$.

Lời giải câu 4
Ta có $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x =\displaystyle\int x^2\mathrm{\,d}x =\dfrac{x^3}{3}+C$.

Câu 5. Trong các mệnh đề cho sau đây, mệnh đề nào \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\int\left[f_1(x)+f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x= \displaystyle\int f_1(x)\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int f_2(x)\mathrm{\,d}x$.
B. Nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $F(x)=G(x)$.
C. Nếu $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)+C$ thì $\displaystyle\int f(u)\mathrm{\,d}u=F(u)+C$.
D. $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x = k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x$ ($k$ là hằng số và $k\neq 0$).

Lời giải câu 5
Mệnh đề: ``Nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $F(x)=G(x)$'' là sai vì các nguyên hàm của $f(x)$ có thể sai khác nhau một hằng số.

Câu 6. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây $\textbf{sai}$?
A. $\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\quad (C\in\mathbb{R})$.
B. $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\quad (k\in\mathbb{R}^*)$.
C. $\displaystyle\int\left[ f(x)\cdot g(x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.
D. $\displaystyle\int\left[ f(x)+ g(x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.

Lời giải câu 6
Đối với $f(x)$ và $g(x)$ bất kỳ thì $\displaystyle\int\left[ f(x)\cdot g(x)\right] \mathrm{\,d}x\ne \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.
Thật vậy, nếu chọn $f(x)=x$, $g(x)=1$ thì $$\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}x^2+C_1,\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x=x+C_2 ,\displaystyle\int \left[ f(x)\cdot g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}x^2+C_3.$$ Khi đó, hiển nhiên $\displaystyle\int\left[ f(x)\cdot g(x)\right] \mathrm{\,d}x\ne \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.
Vậy mệnh đề \lq\lq $\displaystyle\int\left[ f(x)\cdot g(x)\right] \mathrm{\,d}x= \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$ \rq\rq\ là mệnh đề \textbf{sai}.
Các mệnh đề còn lại là các mệnh đề đúng.

Câu 7. Cho hàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^2$. Tính $F'(25)$.
A. $ 5 $.
B. $ 25 $.
C. $ 625 $.
D. $125 $.

Lời giải câu 7
Ta có $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^2$ nên ta có $F'(x)=x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$.
Do đó, $F'(25)=25^2=625$.

Câu 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$.
A. $ \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^4}{4}+\ln x+C $.
B. $ \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x^2-\dfrac{1}{x^2}+C $.
C. $ \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^4}{4}+\ln |x|+C $.
D. $ \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x^2+\dfrac{1}{x^2}+C $.

Lời giải câu 8
Ta có $ \displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x= \displaystyle\int \left( x^3+\dfrac{1}{x}\right) \mathrm{\,d}x=\dfrac{x^4}{4}+\ln |x|+C$.

Câu 9. Cho các hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề {\bf sai}?
A. $\displaystyle\int [f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.
B. $\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C$.
C. $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x,\forall k \in \mathbb{R}$.
D. $\displaystyle\int [f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.

Lời giải câu 9
Nếu $k=0$ thì mệnh đề \lq\lq $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x,\forall k \in \mathbb{R}$\rq\rq\ không đúng.

Câu 10. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. $\displaystyle\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}}\mathrm{\,d}x =\ln |x|+C$.
B. $\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}}\mathrm{\,d}x =x^2+C$.
C. $\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}}\mathrm{\,d}x =-\dfrac{1}{2}x^{-2}+C$.
D. $\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}}\mathrm{\,d}x =\ln x+C$.

Lời giải câu 10
Ta có $\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}}\mathrm{\,d}x =\ln |x|+C$.

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+x$ là
A. $\mathrm{e}^x+\dfrac{x^2}{2}+C$.
B. $\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}+\dfrac{x^2}{2}+C$.
C. $x\mathrm{e}^{x-1}+\dfrac{x^2}{2}+C$.
D. $\mathrm{e}^x+1+C$.

Lời giải câu 11
Ta có $\displaystyle \int (\mathrm{e}^x+x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+\dfrac{x^2}{2}+C$.

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào \textbf{sai}?
A. $ \displaystyle\int\limits 2^x\mathrm{d}x = 2^x \ln 2 + \mathrm{C} $.
B. $ \displaystyle\int\limits\mathrm{e}^{2x} \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2} + \mathrm{C}$.
C. $ \displaystyle\int\limits\cos 2x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \sin 2x + \mathrm{C}$.
D. $ \displaystyle\int\limits \dfrac{1}{x + 1} \mathrm{d}x = \ln |x + 1| + \mathrm{C} \quad (\forall x \ne -1)$.

Lời giải câu 12
Ta có $ \displaystyle\int\limits 2^x\mathrm{d}x = \dfrac{2^x}{\ln 2} + \mathrm{C}$.

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x^2+x+1$ là
A. $\dfrac{2x^3}{3}+x^2+x+C$.
B. $4x+1$.
C. $\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x$.
D. $\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x+C$.

Lời giải câu 13
Ta có $\displaystyle\int (2x^2+x+1) \mathrm{\,d}x=\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x+C$.

Câu 14. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. Tính $F(e)-F(1)$
A. $I=e$.
B. $I=1$.
C. $I=\dfrac{1}{e}$.
D. $I=\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 14
Ta có $F(x)=\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x}\mathrm{\,d}x=\int \ln x \mathrm{\,d}\left(\ln x\right)=\dfrac{\ln ^2x}{2}+C$.
Khi đó $F(e)-F(1)=\dfrac{\ln ^2 e}{2}-\dfrac{\ln^2 1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

Câu 15. Tính nguyên hàm $I=\displaystyle\int{x2^{x^2}\mathrm{\,d}x }$.
A. $I=\dfrac{2^{x^2}}{\ln 2}+C$.
B. $I=2^{x^2-1}+C$.
C. $I=2^{x^2}+C$.
D. $I=\dfrac{2^{x^2}}{2\ln 2}+C$.

Lời giải câu 15
Đặt $u=x^2\Rightarrow \mathrm{\,d}u=2x\mathrm{\,d}x $.
Suy ra $I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{2^u\mathrm{\,d}u}=\dfrac{2^u}{2\ln 2}+C$, với $C$ là hằng số.
Do đó $I=\dfrac{2^{x^2}}{2\ln 2}+C$.

Câu 16. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=\dfrac{1}{1-x}$ và $f(0)=1$. Tính $f(5)$.
A. $f(5)=2\ln 2$.
B. $f(5)=-2\ln 2+1$.
C. $f(5)=-2\ln 2$.
D. $f(5)=\ln 4+1$.

Lời giải câu 16
Ta có $f(x)=\displaystyle\int \dfrac{1}{1-x}\mathrm{d}x=-\ln|1-x|+C$.
Vì $f(0)=1$ nên $C=1\Rightarrow f(x)=-\ln|1-x|+1$.
Khi đó $f(5)=-\ln 4+1=-2\ln 2+1$.

Câu 17. Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=4x+1.$ Đồ thị của hàm số $F(x)$ và $f(x)$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tất cả các điểm chung của đồ thị hai hàm số trên là
A. $\left(0; 1\right)$ và $\left(\dfrac{3}{2};7\right)$.
B. $\left(\dfrac{3}{2};7\right)$.
C. $\left(\dfrac{3}{2};8\right)$.
D. $\left(0; 1\right)$.

Lời giải câu 17
Ta có $F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2x^2+x+C$.
Đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục $Oy$ tại $M(0;1)$.
Theo giả thiết đồ thị hàm số $F(x)$ đi qua $M$ nên $C=1\Rightarrow F(x)=2x^2+x+1$.
Tọa độ điểm chung của hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $F(x)$ là nghiệm của hệ $$\left\{\begin{aligned}&2x^2+x+1=4x+1
&y=4x+1 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&2x^2-3x=0
&y=4x+1 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}aligned\

right.hoac{&\left\{\begin{aligned}&x=0
&y=1 \end{aligned}\right.
&\left\{\begin{aligned}&x=\dfrac{3}{2}
&y=7. \end{aligned}\right.}$$ Vậy tọa độ các điểm chung là $\left(0; 1\right)$ và $\left(\dfrac{3}{2};7\right)$. }

Câu 18. Hàm số nào sau đây có nguyên hàm trên toàn tập $\mathbb{R}$: $f(x)=\dfrac{2x-1}{x}$; $g(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-1}$; $h(x)=\dfrac{3}{x-2}$; $k(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2+2}$.
A. $k(x)$.
B. $f(x)$.
C. $g(x)$.
D. $h(x)$.

Lời giải câu 18
Xét hàm số $k(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2+2}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R} $.
Với mọi $x_0\in D$ ta có $\underset{x\to x_0}{\lim}k(x)=\underset{x\to x_0}{\lim}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2+2}=\dfrac{x_0^2-3x_0+2}{x_0^2+2}=k\left(x_0\right).$
Nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R} $.
Theo định lý về sự tồn tại nguyên hàm ta có mọi hàm số liên tục trên khoảng $K$ đều có nguyên hàm trên khoảng $K$.
Vậy hàm số $k(x)$ có nguyên hàm trên toàn tập $\mathbb{R}$.

Câu 19. Tính nguyên hàm $I=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x\left(x^3+1\right)}\mathrm{\,d}x }$.
A. $I=\ln \left|{\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3+1}}}\right|+C$.
B. $I=3\ln \left|{\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3+1}}}\right|+C$.
C. $I=\dfrac{1}{3}\ln \left|{\dfrac{x^3+1}{x}}\right|+C$.
D. $I=\ln \left|{\dfrac{x}{x^3+1}}\right|+C$.

Lời giải câu 19
Ta có $$\begin{aligned} I=&\displaystyle\int{\dfrac{1}{x\left(x^3+1\right)}\mathrm{\,d}x }
=&\displaystyle\int{\dfrac{x^3+1-x^3}{x\left(x^3+1\right)}\mathrm{\,d}x }
=&\displaystyle\int{\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^2}{x^3+1}\right)\mathrm{\,d}x }
=&\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x -}\dfrac{1}{3}\displaystyle\int{\dfrac{{\left(x^3+1\right)}^{\prime}}{x^3+1}\mathrm{\,d}x }
=&\ln |x|-\dfrac{1}{3}\ln \left|{x^3+1}\right|+C
=&\ln |x|-\ln \left|{\sqrt[3]{x^3+1}}\right|+C=\ln \left|{\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3+1}}}\right|+C. \end{aligned}$$

Câu 20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}$.
A. $2\cot2x+C$.
B. $-\cot2x+C$.
C. $\cot2x+C$.
D. $-2\cot2x+C$.

Lời giải câu 20
Ta có $y=\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\dfrac{4}{\sin^22x}\mathrm{\,d}x=-2\cot2x+C$.

Câu 21. Khẳng định nào sau đây \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\int x^{\alpha}\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^{\alpha}}{\alpha+1}+C$ ($C$ là hằng số, $\alpha$ là hằng số).
B. $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ ($C$ là hằng số).
C. $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=\ln |x|+C$ ($C$ là hằng số) với $x\ne 0$.
D. Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ đều có nguyên hàm trên $[a;b]$.

Lời giải câu 21
Khẳng định $\displaystyle\int x^{\alpha}\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^{\alpha}}{\alpha+1}+C$ ($C$ là hằng số, $\alpha$ là hằng số) là khẳng định sai vì thiếu điều kiện $\alpha\ne -1$.

Câu 22. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'(x)-x\cdot f(x)=0$, $f(x)>0, \ \forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=1$. Giá trị của $f(\sqrt{2})$ bằng
A. ${\mathrm{e}^2}$.
B. $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
C. $\sqrt{\mathrm{e}}$.
D. $\mathrm{e}$.

Lời giải câu 22
Từ giả thiết ta có $\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}=x\Rightarrow \int{\dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x}=\int{x\mathrm{\,d}x}$
$\Rightarrow \ln \left[{f(x)}\right]=\dfrac{1}{2}x^2+C$ (do $f(x)>0, \ \forall x\in \mathbb{R}$).
Do đó $\ln \left[f(0)\right]=\dfrac{1}{2}\cdot 0^2+C \Rightarrow C=0 \Rightarrow \ln f(x)=\dfrac{1}{2}x^2$.
$\Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x^2}\Rightarrow f(\sqrt{2})={\mathrm{e}}$.

Câu 23. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f'(x)=x+\sin x$ và $f(0)=1$. Tìm $f(x)$.
A. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+2$.
B. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x$.
C. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x-2$.
D. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x+\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 23
Ta có $f(x)=\displaystyle\int f'(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int (x+\sin x) \mathrm{\,d}x=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+C$.
Vì $f(0)=1\Rightarrow -1+C=1\Rightarrow C=2\Rightarrow f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+2$.

Câu 24. Nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-x^2-\dfrac{1}{3}$ là
A. $\dfrac{-x^4+x^2+3}{3x}+C$.
B. $-\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^3}{3}+C$.
C. $-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{3}+C$.
D. $-\dfrac{x^4+x^2+3}{3x}+C$.

Lời giải câu 24
Ta có $ \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{x^2}-x^2-\dfrac{1}{3}\right) \mathrm{\,d} x =-\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^3}{3} -\dfrac{1}{3}x+C =-\dfrac{x^4+x^2+3}{3x}+C $

Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos 5x$.
A. $\displaystyle\int \cos 5x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\sin 5x}{5}+C$.
B. $\displaystyle\int \cos 5x\mathrm{\,d}x=\sin 5x+C$.
C. $\displaystyle\int \cos 5x\mathrm{\,d}x=5\sin 5x+C$.
D. $\displaystyle\int \cos 5x\mathrm{\,d}x=-\dfrac{\sin 5x}{5}+C$.

Lời giải câu 25
Ta có $ \displaystyle\int \cos 5x \mathrm{\,d}x =\dfrac{1}{5} \displaystyle\int \cos 5x \mathrm{\,d}5x =\dfrac{1}{5}\sin 5x +C.$

Câu 26. Tìm các hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x)=\dfrac{\cos x}{(2+\sin x)^2}$.
A. $ f(x)=\dfrac{\sin x}{(2+\cos x)^2}+C $.
B. $ f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\sin x}+C $.
C. $ f(x)=-\dfrac{1}{2+\sin x}+C $.
D. $ f(x)=\dfrac{1}{2+\cos x}+C $.

Lời giải câu 26
Ta có $f(x)=\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{(2+\sin x)^2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \dfrac{ 1}{(2+\sin x)^2}\mathrm{\,d}(2+\sin x)=-\dfrac{1}{2+\sin x}+C$.

Câu 27. Biết $\displaystyle\int x(1-2x)^{50}\mathrm{\,d}x=\dfrac{(1-2x)^{52}}{a}-\dfrac{(1-2x)^{51}}{b}+C$, ($a, b\in\mathbb{R}$). Tính giá trị $a-b$.
A. $0$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $-4$.

Lời giải câu 27
Đặt $t=1-2x\Leftrightarrow x=\dfrac{1-t}{2}\Rightarrow \mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\mathrm{\,d}t$.
Khi đó, \begin{eqnarray*} \int x(1-2x)^{50}\mathrm{\,d}x &= &\int -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1-t}{2}\cdot t^{50}\mathrm{\,d}t=\int \left(\dfrac{t^{51}}{4}-\dfrac{t^{50}}{4}\right) \mathrm{\,d}t=\dfrac{t^{52}}{208}-\dfrac{t^{51}}{204}+C
&=& \dfrac{(1-2x)^{52}}{208}-\dfrac{(1-2x)^{51}}{204}+C. \end{eqnarray*} Suy ra $a=208$ và $b=204$.
Vậy $a-b=4$.

Câu 28. Nguyên hàm $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{\,d}x$ bằng
A. $2\sqrt{x}+C$.
B. $2\ln \left|\sqrt{x}+1\right|+C$.
C. $2\sqrt{x}-2\ln \left|\sqrt{x}+1\right|+C$.
D. $2\sqrt{x}-2\ln \left|\sqrt{x+1}\right|+C$.

Lời giải câu 28
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^2\Rightarrow \mathrm{\,d}x=2t\mathrm{\,d}t$.
Ta có $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \dfrac{2t}{t+1} \mathrm{\,d}t=\displaystyle\int \left(2-\dfrac{2}{t+1}\right) \mathrm{\,d}t=2t-2\ln |t+1|+C=2\sqrt{x}-\ln \left|\sqrt{x}+1\right|+C$.

Câu 29. Biết $\displaystyle\int\limits{f( u )\mathrm{\,d}u=F( u )+C}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\displaystyle\int\limits{f( 2x-1 )\mathrm{d}x=2F( 2x-1 )+C}$.
B. $\displaystyle\int\limits{f( 2x-1 )\mathrm{d}x=2F( x )-1+C}$.
C. $\displaystyle\int\limits{f( 2x-1 )\mathrm{d}x=F( 2x-1 )+C}$.
D. $\displaystyle\int\limits{f( 2x-1 )\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}F( 2x-1 )+C}$.
\

Lời giải câu 29
Đặt $u=2x-1\Rightarrow \mathrm{d}u=2\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}u$.
Ta có $\displaystyle\int f(2x-1)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int f(u)\mathrm{\,d}u=\dfrac{1}{2}F(u)+C=\dfrac{1}{2}F(2x-1)+C$.

Câu 30. Tính $\displaystyle\int x\ln x \mathrm{\,d}x$
A. $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$.
B. $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+C$.
C. $\dfrac{1}{2}\ln x^3-\dfrac{1}{4}x^2+C$.
D. $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x+C$.

Lời giải câu 30
Đặt $\left\{\begin{aligned}&u=\ln x
& \mathrm{\,d}v=x\mathrm{\,d}x \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}&\mathrm{\,d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x
& v=\dfrac{x^2}{2} \end{aligned}\right.$.
$\displaystyle\int x\ln x \mathrm{\,d}x=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x \mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$.

Câu 31. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=(2x-1)\mathrm{e}^x$ là
A. $(2x+1)\mathrm{e}^x+C$.
B. $(2x-3)\mathrm{e}^x+C$.
C. $(2x+3)\mathrm{e}^x+C$.
D. $(2x-1)\mathrm{e}^x+C$.

Lời giải câu 31
Đặt $\left\{\begin{aligned}&u=2x-1
&\mathrm{d}v=\mathrm{e}^x \mathrm{\,d}x \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}&\mathrm{d}u= 2\mathrm{\,d}x
&v=\mathrm{e}^x \end{aligned}\right.$, ta có $$\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int (2x-1)\mathrm{e}^x \mathrm{\,d}x = (2x-1)\mathrm{e}^x - 2\displaystyle\int \mathrm{e}^x \mathrm{\,d}x = (2x-3)\mathrm{e}^x+C.$$

Câu 32. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{\ln 2x}{x^2}$ ?
A. $F(x)=\dfrac{1}{x}\left(\ln2x+1\right)$.
B. $F(x)=-\dfrac{1}{x}\left(\ln2x-1\right)$.
C. $F(x)=-\dfrac{1}{x}\left(\ln2x+1\right)$.
D. $F(x)=-\dfrac{1}{x}\left(1-\ln2x\right)$.

Lời giải câu 32
Ta có $F(x)=\displaystyle \int \dfrac{\ln2x}{x^2}\mathrm{d}x$.
Đặt $\left\{\begin{aligned}&u=\ln2x
&\mathrm{d}v=\dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x \end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x
&v=-\dfrac{1}{x} \end{aligned}\right.$
Khi đó: \begin{eqnarray*} F(x)&=&-\dfrac{1}{x}\cdot \ln2x+\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x
&=&-\dfrac{1}{x}\cdot \ln2x-\dfrac{1}{x}+C. \end{eqnarray*} Chọn $C=0$ suy ra $F(x)=-\dfrac{1}{x}\left(\ln2x+1\right).$

   Số câu đúng   

Số báo danh  

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!