Dạng 1. Tích phân cơ bản

Thời gian làm bài:

Câu 1. Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^2\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $4$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.

Lời giải câu 1
Ta có $I=\displaystyle\int\limits_0^2\mathrm{\,d}x=x\bigg|_0^2=2$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, biết $\displaystyle\int_0^9 f(x) {\mathrm d}(x) $ và $F(0) = 3$. Tính $F(9)$.
A. $ F(9) = -6 $.
B. $ F(9) = 6 $.
C. $ F(9) = 12 $ .
D. $ F(9) = -12 $ .

Lời giải câu 2
Ta có $ I = \displaystyle\int_0^9 f(x) {\mathrm d}(x) = F(x) \Big|_0^9 = F(9) - F(0) = 9 \Leftrightarrow F(9) =12 $.

Câu 3. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $\dfrac{\pi}{2}$.
D. $\pi$.

Lời giải câu 3
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x = \sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0 = 1$.

Câu 4. Cho $\displaystyle \int\limits_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 2$ và $\displaystyle \int\limits_0^3 g(x) \mathrm{d}x = 3$. Tính giá trị của tích phân $L = \displaystyle \int\limits_0^3 \left[2f(x) - g(x)\right] \mathrm{d}x$.
A. $L = 4$.
B. $L = -1$.
C. $L = -4$.
D. $L = 1$.

Lời giải câu 4
$$L = \displaystyle \int\limits_0^3 \left[2f(x) - g(x)\right] \mathrm{d}x = 2\int\limits_0^3 f(x) \mathrm{d}x - \int\limits_0^3 g(x) \mathrm{d}x = 2\cdot 2 - 3 = 1.$$

Câu 5. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\, d}x=3$, $\displaystyle\int\limits_2^5 f(x) \mathrm{\, d}x=-1$ thì $\displaystyle\int\limits_1^5 f(x) \mathrm{\, d}x$ bằng
A. $-2$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.

Lời giải câu 5
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^5 f(x) \mathrm{\, d}x= \displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\, d}x+ \displaystyle\int\limits_2^5 f(x) \mathrm{\, d}x= 3-1= 2$.

Câu 6. Giá trị tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{d}x}{x+1}$ bằng
A. $\log 2$.
B. $\ln 2$.
C. $1$.
D. $-\ln 2$.

Lời giải câu 6
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{d}x}{x+1}=\left.\ln | x+1 |\right|_0^1=\ln 2$.

Câu 7. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1(3x^2-2x+3)\mathrm{\,d}x$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.

Lời giải câu 7
$I=\displaystyle\int\limits_0^1(3x^2-2x+3)\mathrm{\,d}x=\left(x^3-x^2+3x\right)\bigg|_0^1=3$.

Câu 8. Khẳng định nào trong các khẳng định sau \textbf{đúng} với mọi hàm $f$, $g$ liên tục trên $K$ và $a$, $b$ là các số bất kì thuộc $K$?
A. $\displaystyle\int\limits_a^b \left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^b \left[f(x)\cdot g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\cdot\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^b \dfrac{f(x)}{g(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x}{\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x}$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x=\left[\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\right]^2$.

Lời giải câu 8
Một trong các tính chất của tích phân là $\displaystyle\int\limits_a^b \left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, biết $\displaystyle\int\limits_0^9f(x)\mathrm{\,d}x = 9$ và $F(0)=3$. Tính $F(9)$.
A. $F(9) = -6$.
B. $F(9) = 6$.
C. $F(9) = 12$.
D. $F(9) = -12$.

Lời giải câu 9
Ta có$\displaystyle\int\limits_0^9f(x)\mathrm{\,d}x = 9\Leftrightarrow F(9)-F(0)=9\Leftrightarrow F(9)=9+F(0)=9+3=12$.

Câu 10. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x+1} \mathrm{\,d}x$ bằng
A. $\log 2$.
B. $1$.
C. $\ln 2$.
D. $-\ln 2$.

Lời giải câu 10
$\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{1}{x+1} \mathrm{\,d}x=\ln |x+1| \bigg |_0^1=\ln 2$.

Câu 11. Tích phân $ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{ x + 1 }\mathrm{d}x $ có giá trị bằng
A. $ \ln 2 - 1$.
B. $ - \ln 2 $.
C. $ \ln 2 $.
D. $ 1 - \ln 2$.

Lời giải câu 11
Ta có $ I = \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{ x + 1 }\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}( x + 1 )}{ x + 1 } = \ln |x + 1| \Big|_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

Câu 12. Cho hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào {\bf sai}?
A. $\displaystyle\int\limits_{a}^{a}kf(x)\,\mathrm{d}x=0$.
B. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,\mathrm{d}x=x\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$.
C. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]\,\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$.
D. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x$.

Lời giải câu 12
Biểu thức $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,\mathrm{d}x=x\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x $ sai, vì một hàm khác hằng số không thể đưa ra ngoài dấu tích phân.

Câu 13. Cho $F(x)=\left(ax^2+bx-c\right)\mathrm{e}^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left(2018x^2-3x+1\right)\mathrm{e}^{2x}$ trên khoảng $\left(-\infty; +\infty\right)$. Tính $T=a+2b+4c$.
A. $T=1011$.
B. $T=-3035$.
C. $T=1007$.
D. $T=-5053$.

Lời giải câu 13
Ta có $$f(x)=F'(x)=\left(2ax+b\right)\mathrm{e}^{2x}+2\left(ax^2+bx-c\right)\mathrm{e}^{2x}=\left[2ax^2+\left(2a+2b\right)x+\left(b-2c\right)\right]\mathrm{e}^{2}.$$ Suy ra $$\left\{\begin{aligned}&2a &=&2018
&2a+2b & = &-3
&b-2c & = & 1 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a=1009
&b=-\dfrac{2021}{2}
& c=-\dfrac{2023}{4}. \end{aligned}\right.$$ Vậy $T=a+2b+4c=-3035$.

Câu 14. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(1)-f(0)=2$. Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1} {\left[f'(x)-\mathrm{e}^x\right]}\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $1-\mathrm{e}$.
B. $1+\mathrm{e}$.
C. $3-\mathrm{e}$.
D. $3+\mathrm{e}$.

Lời giải câu 14
\begin{eqnarray*} I & =& \displaystyle\int\limits_{0}^{1} {\left(f'(x)-\mathrm{e}^x\right)}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{1} {f'(x)}\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{0}^{1} {\mathrm{e}^x}\mathrm{\,d}x
& = & f(x)\Bigg|_0^1-\mathrm{e}^x\Bigg|_0^1=f(1)-f(0)-(\mathrm{e}-\mathrm{e}^0)
& = &3-\mathrm{e}. \end{eqnarray*} Vậy $I=3-\mathrm{e}$.

Câu 15. Cho $\displaystyle\int\limits_1^2f(x) \mathrm{\,d}x = 2$ và $\displaystyle\int\limits_1^22g(x) \mathrm{\,d}x = 8$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_1^2[f(x) + g(x)] \mathrm{\,d}x$ bằng
A. $6$.
B. $10$.
C. $18$.
D. $0$.

Lời giải câu 15
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^2f(x) \mathrm{\,d}x = 2$ và $\displaystyle\int\limits_1^2g(x) \mathrm{\,d}x = 4\Rightarrow\displaystyle\int\limits_1^2[f(x) + g(x)] \mathrm{\,d}x = 6$.

Câu 16. Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên khoảng $K$ và $a,b,c$ là ba số bất kỳ trên khoảng $K$. Khẳng định nào sau đây {\bf sai}?
A. $\displaystyle\int\limits_a^a{f(x)\mathrm{\,d}x=1}$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=-\displaystyle\int\limits_b^a{f(x)\mathrm{\,d}x}$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^c{f(x)\mathrm{\,d}x}+\displaystyle\int\limits_c^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}$, $c\in(a;b)$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=\displaystyle\int\limits_a^b{f(t)\mathrm{\,d}t}$.

Lời giải câu 16
Theo lý thuyết, $\displaystyle\int\limits_a^a{f(x)\mathrm{\,d}x=0}$.

Câu 17. Cho tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^2 f(x)\mathrm{\,d}x=2$. Tính tích phân $J=\displaystyle\int\limits_0^2\left[3 f(x)-2\right]\mathrm{\,d}x$.
A. $J=6$.
B. $J=2$.
C. $J=8$.
D. $J=4$.

Lời giải câu 17
Ta có $J=\displaystyle\int\limits_0^2[3 f(x)-2]\mathrm{\,d}x=3 \displaystyle\int\limits_0^2 f(x)\mathrm{\,d}x-2 \displaystyle\int\limits_0^2\mathrm{\,d}x=3\cdot 2-(2x)\bigg|_0^2=6-4=2$.

Câu 18. Tích phân $I=\displaystyle \int \limits_0^1 \mathrm{e}^{2 x}\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $\mathrm{e}^2-1$.
B. $\mathrm{e}+\dfrac{1}{2}$.
C. $\mathrm{e}-1$.
D. $\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}$.

Lời giải câu 18
$I=\displaystyle \int \limits_0^1 \mathrm{e}^{2 x}\mathrm{\,d}x=\left.\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}\right)\right|_0^1=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}$.

Câu 19. Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {f(x)}\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {g(x)}\mathrm{\,d}x=7$, khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {\left[f(x)+3g(x)\right]}\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $16$.
B. $-18$.
C. $24$.
D. $10$.

Lời giải câu 19
Ta có $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {\left[f(x)+3g(x)\right]}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {f(x)}\mathrm{\,d}x+3\displaystyle\int\limits_{0}^{2} {g(x)}\mathrm{\,d}x=3+3\times 7=24$.

Câu 20. Tích phân $\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\mathrm{d}x}{3x-2}$ bằng
A. $2\ln 2$.
B. $\dfrac{2}{3}\ln 2$.
C. $\ln 2$.
D. $\dfrac{1}{3}\ln 2$.

Lời giải câu 20
Ta có $$\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\mathrm{d}x}{3x-2}=\dfrac{1}{3}\ln |3x-2|\Biggr|_1^2=\dfrac{1}{3}\ln 4-\dfrac{1}{3}\ln 1=\dfrac{2}{3}\ln 2.$$

Câu 21. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_1^8f(x)\mathrm{\,d}x=9$, $\displaystyle\int\limits_{4}^{12}f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_4^8f(x)\mathrm{\,d}x=5$. Tính $\displaystyle\int\limits_1^{12}f(x)\mathrm{\,d}x$.
A. $I=17$.
B. $I=1$.
C. $I=11$.
D. $I=7$.

Lời giải câu 21
Ta có $$\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_1^8f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_4^8f(x)\mathrm{\,d}x=9-5=4.$$ Suy ra $$\displaystyle\int\limits_1^{12}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_4^{12}f(x)\mathrm{\,d}x=4+3=7.$$

Câu 22. Cho $\displaystyle\int\limits_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x=6$ và $\displaystyle\int\limits_1^2 f(x)\mathrm{d}x=3$, khi đó $\displaystyle\int\limits_{-1}^2 f(x)\mathrm{d}x$ bằng
A. $3$.
B. $2$.
C. $9$.
D. $18$.

Lời giải câu 22
Ta có $\displaystyle\int\limits_{-1}^2 f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_{1}^2 f(x)\mathrm{d}x=6+3=9$.

Câu 23. Giả sử $f(x)$ là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng $\left(\alpha;\beta\right)$ và $a,b,c,b+c\in \left(\alpha;\beta\right)$. Mệnh đề nào sau đây \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_c^bf(x)\mathrm{\,d}x$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^{b+c}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^{b+c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{b+c}^bf(x)\mathrm{\,d}x$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_b^cf(x)\mathrm{\,d}x$.

Lời giải câu 23
Theo các tính chất của tích phân, ta suy ra $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_c^bf(x)\mathrm{\,d}x$ là khẳng định đúng. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^{b+c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{b+c}^bf(x)\mathrm{\,d}x$ là khẳng định đúng. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_b^cf(x)\mathrm{\,d}x$ là khẳng định đúng vì $$\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_b^cf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_c^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x.$$ Vậy $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^{b+c}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x$ là khẳng định \textbf{sai}.

Câu 24. Cho $ \displaystyle \int\limits_0^2 f(x) \mathrm{\, d}x=3 $ và $ \displaystyle \int\limits_0^2 g(x) \mathrm{\, d}x=7 $, khi đó $ \displaystyle \int\limits_0^2 \left[f(x)+3g(x)\right] \mathrm{\, d}x $ bằng
A. $ 16 $.
B. $ 10 $.
C. $ 24 $.
D. $ -18 $.

Lời giải câu 24
Ta có $ \displaystyle \int\limits_0^2 \left[f(x)+3g(x)\right] \mathrm{\, d}x =\int\limits_0^2 f(x) \mathrm{\, d}x+3\int\limits_0^2 g(x) \mathrm{\, d}x =3+3\cdot 7 =24 $.

Câu 25. Cho hàm số $f(x)$ biết $f(0)=1$, $f'(x)$ liên tục trên $[0;3]$ và $\displaystyle\int\limits_0^3 f'(x) \mathrm{\,d}x=9$. Tính $f(3)$.
A. $f(3)=9$.
B. $f(3)=10$.
C. $f(3)=8$.
D. $f(3)=7$.

Lời giải câu 25
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^3 f'(x) \mathrm{\,d}x=9 \Leftrightarrow f(x) \bigg|_0^3=9\Leftrightarrow f(3)-f(0)=9$
$\Leftrightarrow f(3)=9+f(0)=9+1=10$.
Vậy $f(3)=10$.

Câu 26. Tính $I=\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d}x$, biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(a)=-2$, $F(b)=3$.
A. $I=1$.
B. $I=-1$.
C. $I=-5$.
D. $I=5$.

Lời giải câu 26
$$I=\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d}x = F(x)\Big|_a^b =F(b)-F(a)= 3-(-2)=5 .$$

Câu 27. Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\, d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}g(x)\mathrm{\, d}x=-2$, khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left[2f(x)-g(x)\right]\mathrm{\, d}x$ bằng
A. $5$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $1$.

Lời giải câu 27
Ta có $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left[2f(x)-g(x)\right]\mathrm{\, d}x =2\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\, d}x-\displaystyle\int\limits_{0}^{2}g(x)\mathrm{\, d}x=2\cdot3-(-2)=8$.

Câu 28. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và $a,b,c \in K$. Mệnh đề nào sau đây \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\int\limits_a^a f(x)\mathrm{d}x=0$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_c^b f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{d}x$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(t)\mathrm{dt}$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x= - \displaystyle\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$.

Lời giải câu 28
Theo lý thuyết, ta có $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_b^c f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{d}x$.

Câu 29. Biết $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{\,d}x=-2$, giá trị của $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left[f(x)+2g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $7$.
B. $-1$.
C. $5$.
D. $1$.

Lời giải câu 29
Ta có $$\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left[f(x)+2g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x+2\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{\,d}x=3+2(-2)=-1.$$

Câu 30. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\mathrm{d}x = 5$ và $\displaystyle \int_{-1}^{3} f(x)\mathrm{d}x = 1$. Tính tích phân $I = \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\mathrm{d}x$.
A. $ I = -6 $.
B. $ I = 6 $.
C. $ I = 4 $.
D. $ I = -4 $.

Lời giải câu 30
Ta có $\displaystyle \int_{-1}^{3} f(x)\mathrm{d}x = \displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\mathrm{d}x + \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\mathrm{d}x \Rightarrow \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\mathrm{d}x = \displaystyle \int_{-1}^{3} f(x)\mathrm{d}x - \displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\mathrm{d}x = -4$.

Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Hãy chọn khẳng định đúng.
A. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=b-a$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=F(a)-F(b)$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=a-b$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=F(b)-F(a)$.

Lời giải câu 31
Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có $\displaystyle\int\limits_a^b{f(x)\mathrm{\,d}x}=F(b)-F(a)$.

Câu 32. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_0^1 (2019x^{2018} - 1)\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $0$.
B. $2^{2017} + 1$.
C. $2^{2017} - 1$.
D. $1$.

Lời giải câu 32
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 (2019x^{2018} - 1)\mathrm{\,d}x = \left(x^{2019} - x \right) \biggr|^1_0 = 0$.

Câu 33. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} (2x+1) \mathrm{\,d}x$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 33
Ta có $I=(x^2+x)\bigg|_{-1}^{0}=0$.

Câu 34. Nếu $\displaystyle\int\limits_2^5f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\int\limits_5^7f(x)\mathrm{\,d}x=9$ thì $\displaystyle\int\limits_2^7f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng bao nhiêu?
A. $12$.
B. $-6$.
C. $6$.
D. $3$.

Lời giải câu 34
Theo tính chất của tích phân ta có $\displaystyle\int\limits_2^7f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_2^5f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_5^7f(x)\mathrm{\,d}x=12$.

Câu 35. Cho $\displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\int\limits_2^4 f(x) \mathrm{\,d}x=-1$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_1^4 f(x) \mathrm{\,d}x$ bằng
A. $-3$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $-1$.

Lời giải câu 35
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^4 f(x) \mathrm{\,d}x=\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d}x+\int\limits_2^4 f(x) \mathrm{\,d}x=2+(-1)=1$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_1^4 f(x) \mathrm{\,d}x=1$.

Câu 36. Cho hàm số $ f(x) $ liên tục trên khoảng $ K $ và các hằng số $ a, b, c \in K $. Mệnh đề nào dưới đây \textbf{sai}?
A. $ \displaystyle \int \limits^b_a k \cdot f(x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle k \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x $ với $ k \in \mathbb{R} $.
B. $ \displaystyle \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle \int \limits^c_a f(x) \mathrm{\,d}x + \displaystyle \int \limits^b_c f(x) \mathrm{\,d}x $.
C. $ \displaystyle \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle - \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x $.
D. $ \displaystyle \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x \neq \displaystyle \int \limits^b_a f(t) \mathrm{\,d}t $.

Lời giải câu 36
Ta có $ \displaystyle \int \limits^b_a f(x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle \int \limits^b_a f(t) \mathrm{\,d}t $.

Câu 37. Cho hai số thực $a$, $b$ tùy ý, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên tập $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=F(b)-F(a)$.
B. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=F(a)-F(b)$.
C. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$.
D. $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=F(b)+F(a)$.

Lời giải câu 37
Theo công thức lý thuyết thì $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\Bigg|_a^b=F(b)-F(a)$.

Câu 38. Tính tích phân $I =\displaystyle\int\limits_0^{\ln 2}\left(\mathrm{e}^{4x} + 1\right) \mathrm{\,d}x$.
A. $I =\dfrac{15}{4} + \ln 2$.
B. $I=4+\ln 2$.
C. $I =\dfrac{17}{4} + \ln 2$.
D. $I =\dfrac{15}{2} + \ln 2$.

Lời giải câu 38
Ta có $I=\left(\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{4x}+x\right)\Bigg|_0^{\ln 2}=\left(\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{4\ln 2}+\ln 2\right)-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}+\ln 2$.

Câu 39. Biết $\displaystyle \int \limits_2^5 f(x) \, \mathrm{d}x=3$, $\displaystyle \int \limits_2^5 g(x) \, \mathrm{d}x=9$. Tích phân $\displaystyle \int \limits_2^5 \left[ f(x) + g(x) \right] \, \mathrm{d}x$ bằng
A. $10$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $12$.

Lời giải câu 39
Ta có $\displaystyle \int \limits_2^5 \left[ f(x) + g(x) \right] \, \mathrm{d}x = \int \limits_2^5 f(x) \, \mathrm{d}x + \int \limits_2^5 g(x) \, \mathrm{d}x = 3 + 9 = 12$.

Câu 40. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin 2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
A. $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.
B. $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$.
C. $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$.
D. $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{4}$.

Lời giải câu 40
Ta có $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \mathrm{\,d}x=F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\sin2x \mathrm{\,d}x=F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}\cos2x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{3}{4}$.

Câu 41. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x+3)^2 \mathrm{\,d}x$ bằng
A. $61$.
B. $\dfrac{61}{3}$.
C. $\dfrac{61}{9}$.
D. $4$.

Lời giải câu 41
$\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x+3)^2 \mathrm{\,d}x =\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x+3)^2 \mathrm{\,d}(x+3)=\dfrac{(x+3)^3}{3}\Big |_1^2=\dfrac{61}{3}$.

Câu 42. Giả sử $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số bất kỳ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a$, $b$, $c$ là các số thực. Mệnh đề nào sau đây \textbf{sai}?
A. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$.
B. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}cf(x)\mathrm{d}x=c\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$.
C. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$.
D. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left( f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

Lời giải câu 42
Theo tính chất trong sách giáo khoa thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ sai.

Câu 43. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-2;3)$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-2;3)$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_{-1}^2\left[f(x)+2x\right]\mathrm{\,d}x$, biết $F(-1)=1$, $F(2)=4$.
A. $I=6$.
B. $I=10$.
C. $I=3$.
D. $I=9$.

Lời giải câu 43
$I=\displaystyle\int\limits_{-1}^2f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-1}^2 2x\mathrm{\,d}x=\left.F(x)\right|_{-1}^2+\left.x^2\right|_{-1}^2=F(2)-F(-1)+4-1=4-1+3=6.$

   Số câu đúng   

Số báo danh  

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!