Đề thi thử THPT Quốc Học Huế

Thời gian làm bài:

Câu 1. Công thức nào dưới đây là công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$?
A. $\left[\begin{aligned}& x=\alpha+k 2 \pi
& x=\pi-\alpha+k 2 \pi \end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}$.
B. $x=\pm \alpha+k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}$.
C. $\left[\begin{aligned}& x=\alpha+k\pi
& x=\pi-\alpha+k\pi \end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}$.
D. $x=\pm \alpha+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải câu 1
Ta có$\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=\alpha+k 2 \pi
& x=\pi-\alpha+k 2 \pi \end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}$.

Câu 2. Tìm số các số tự nhiên có $7$ chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$.
A. $4005$.
B. $5004$.
C. $5040$.
D. $4050$.

Lời giải câu 2
Số các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ là $7!=5040$ số.

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a; b)$ và $x_0\in (a; b)$. Tìm mệnh đề đúng.
A. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ thì $f''(x_0)>0$ hoặc $f''(x_0)< 0$.
B. Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ thì hàm số không có đạo hàm tại $x_0$ hoặc $f'(x_0)=0$.
C. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ thì $f'(x_0)=0$.
D. Nếu $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)=0$ thì $x_0$ không là điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$.

Lời giải câu 3
\lq\lq Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ thì hàm số không có đạo hàm tại $x_0$ hoặc $f'(x_0)=0$\rq\rq\ là mệnh đề đúng.

Câu 4. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_2 x=1$.
A. $S=\{2\}$.
B. $S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.
C. $S=\{1\}$.
D. $S=\{0\}$.

Lời giải câu 4
Ta có $\log_2 x=1\Leftrightarrow x=2$.
Vậy $S=\{2\}$.

Câu 5. Cho các hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề {\bf sai}?
A. $\displaystyle\int [f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.
B. $\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C$.
C. $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x,\forall k \in \mathbb{R}$.
D. $\displaystyle\int [f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$.

Lời giải câu 5
Nếu $k=0$ thì mệnh đề \lq\lq $\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x,\forall k \in \mathbb{R}$\rq\rq\ không đúng.

Câu 6. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{9-6x}{3x+12}$.
A. $x=-4$; $y=3$.
B. $x=-4$; $y=-2$.
C. $x=3$; $y=-4$.
D. $x=-2$; $y=3$.

Lời giải câu 6
Ta có $\lim \limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{9-6x}{3x+12}=-2 \Rightarrow y=-2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, $\lim \limits_{x \to (-4)^{+}} \dfrac{9-6x}{3x+12}=+\infty, \lim \limits_{x \to (-4)^{-}} \dfrac{9-6x}{3x+12}=-\infty \Rightarrow x=-4$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 7. Với $a$ là số thực dương tùy ý,$\log_3 a^5$ bằng
A. $5\log_3 a$.
B. $5+\log_3 a$.
C. $\dfrac{1}{5}\log_3 a$.
D. $5-\log_3 a$.

Lời giải câu 7
Ta có $\log_3 a^5=5\log_3 a$.

Câu 8. Cho hàm số $y=\dfrac{x+3}{-1-x}$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
D. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$.

Lời giải câu 8
Ta có $y'=\dfrac{2}{(-1-x)^{2}}>0,\, \forall x \neq-1$.
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Vậy \lq\lq Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$\rq\rq\ là mệnh đề đúng.

Câu 9. CHÈN HÌNH CÂU 9
Hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy khác độ dài cạnh bên có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. $3$ mặt phẳng.
B. $6$ mặt phẳng.
C. $4$ mặt phẳng.
D. $1$ mặt phẳng.

Lời giải câu 9
{Giả sử $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều có độ cạnh đáy $AB$ khác cạnh bên $SA$.
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$.
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có tất cả $3$ mặt phẳng đối xứng là $(SAM)$, $(SBN)$ và $(SCP)$.}

Câu 10. CHÈN HÌNH CÂU 10
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V=\sqrt{2}a^3$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{3}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{4}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{6}$.

Lời giải câu 10
{Diện tích hình vuông $ABCD$ là $S_{ABCD}=a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{3}$.}

Câu 11. Cho khối trụ có thể tích $V$ và bán kính $R$. Tìm chiều cao $h$ của khối trụ đó.
A. $h=\dfrac{V}{R^2}$.
B. $h=\dfrac{3V}{\pi R^2}$.
C. $h=\dfrac{V}{\pi R^2}$.
D. $h=\dfrac{V}{\pi R}$.

Lời giải câu 11
Thể tích của khối trụ là $V=\pi R^2h$.
Vậy chiều cao của khối trụ là $h=\dfrac{V}{\pi R^2}$.

Câu 12. CHÈN HÌNH CÂU 12
{Khối đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. $11$.
B. $9$.
C. $12$.
D. $10$.
}

Lời giải câu 12
Khối đa diện trong hình vẽ có $9$ mặt.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow{x}=2 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{x}$.
A. $\overrightarrow{x}=(2;-1;3)$.
B. $\overrightarrow{x}=(-1;2;3)$.
C. $\overrightarrow{x}=(2;3;-1)$.
D. $\overrightarrow{x}=(3;2;-1)$.

Lời giải câu 13
Ta có $\overrightarrow{x}=(2;3;-1)$.

Câu 14. Ta gọi một dãy nhị phân độ dài $n$ là một dãy gồm $n$ chữ số $0$ hoặc $1$. Tìm số các dãy nhị phân độ dài $7$, trong đó có ba chữ số $0$ và bốn chữ số $1$.
A. $72$.
B. $210$.
C. $120$.
D. $35$.

Lời giải câu 14
Xếp $3$ chữ số $0$ vào $3$ vị trí trong dãy nhị phân có độ dài bằng $7$ có $\mathrm{C}_7^3$ cách.
Xếp $4$ chữ số $1$ vào $4$ vị trí còn lại có $1$ cách.
Vậy có tất cả $\mathrm{C}_7^3\times 1=35$ dãy nhị phân có độ dài bằng $7$.

Câu 15. Một hộp đựng $5$ quả cầu xanh và $3$ quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên $2$ quả cầu từ hộp đó, tính số cách để chọn được $2$ quả cầu cùng màu.
A. $\mathrm{C}_5^2\cdot \mathrm{C}_3^2$.
B. $\mathrm{C}_8^2$.
C. $\mathrm{C}_5^2$.
D. $\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_3^2$.

Lời giải câu 15
Có $\mathrm{C}_5^2$ cách chọn $2$ quả cùng màu xanh.
Có $\mathrm{C}_3^2$ cách chọn $2$ quả cùng màu vàng.
Vậy có tất cả $\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_3^2$ cách chọn $2$ quả cầu cùng màu.

Câu 16. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x-\frac{1}{x^{2}}\right)^{45}$.
A. $\mathrm{C}_{45}^{15}$.
B. $-\mathrm{C}_{45}^{5}$.
C. $-\mathrm{C}_{45}^{15}$.
D. $\mathrm{C}_{45}^{30}$.

Lời giải câu 16
Ta có $\displaystyle\left(x-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{45}=\sum\limits_{k=0}^{45} \mathrm{C}_{45}^{k} \cdot x^{45-k} \cdot(-1)^{k} \cdot x^{-2 k}=\sum\limits_{k=0}^{45} \mathrm{C}_{45}^{k} \cdot(-1)^{k} \cdot x^{45-3 k}$.
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển ứng với$45-3 k=0 \Leftrightarrow k=15$.
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $-\mathrm{C}_{45}^{15}$.

Câu 17. CHÈN HÌNH CÂU 17
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$, tính $\cos\alpha$.
A. $\cos\alpha =\dfrac{1}{3}$.
B. $\cos\alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
C. $\cos\alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $\cos\alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải câu 17
{Ta có $SA\perp (ABCD)$, $(SCD)\cap (ABCD)=CD$ và $AD\perp CD$ nên $\alpha=\widehat{SDA}$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên $SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt{3}$ và $$\cos\alpha=\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$ }

Câu 18. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-3x} \geq 4$.
A. $S=[1;+\infty)$.
B. $S=(-\infty;1]\cup [2;+\infty)$.
C. $S=[1;2]$.
D. $S=(-\infty;2]$.

Lời giải câu 18
Ta có $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-3x} \geq 4\Leftrightarrow x^2-3x\leq \log_{\frac{1}{2}}4\Leftrightarrow x^2-3x\leq -2\Leftrightarrow x^2-3x+2\leq 0\Leftrightarrow 1\leq x\leq 2$.
Vậy $S=[1; 2]$.

Câu 19. Biết rằng phương trình $2^x+m\cdot2^{-x}=6$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho $x_1+x_2=\sqrt{2}$. Tìm mệnh đề đúng.
A. $m \in (5;8)$.
B. $m \in (0;2)$.
C. $m \in (3;4)$.
D. $m \in (2;3)$.

Lời giải câu 19
Ta có $2^x+m\cdot2^{-x}=6\Leftrightarrow \left(2^x\right)^2-6\cdot 2^x+m=0.\quad (*)$
Giả sử $m$ là tham số thỏa mãn phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho $x_1+x_2=\sqrt{2}$.
Khi đó ta xem $(*)$ là phương trình bậc hai với ẩn là $2^x$ thì $$2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=m\Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=m\Leftrightarrow m=2^{\sqrt{2}}.$$ Thử lại, $m=2^{\sqrt{2}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m=2^{\sqrt{2}}\in (2; 3)$.

Câu 20. Biết $\displaystyle\int x(1-2x)^{50}\mathrm{\,d}x=\dfrac{(1-2x)^{52}}{a}-\dfrac{(1-2x)^{51}}{b}+C$, ($a, b\in\mathbb{R}$). Tính giá trị $a-b$.
A. $0$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $-4$.

Lời giải câu 20
Đặt $t=1-2x\Leftrightarrow x=\dfrac{1-t}{2}\Rightarrow \mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\mathrm{\,d}t$.
Khi đó, \begin{eqnarray*} \int x(1-2x)^{50}\mathrm{\,d}x &= &\int -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1-t}{2}\cdot t^{50}\mathrm{\,d}t=\int \left(\dfrac{t^{51}}{4}-\dfrac{t^{50}}{4}\right) \mathrm{\,d}t=\dfrac{t^{52}}{208}-\dfrac{t^{51}}{204}+C
&=& \dfrac{(1-2x)^{52}}{208}-\dfrac{(1-2x)^{51}}{204}+C. \end{eqnarray*} Suy ra $a=208$ và $b=204$.
Vậy $a-b=4$.

Câu 21. Với các số thực dương $x$, $y$ tùy ý. Đặt $\log_2 x=\alpha$, $\log_2 y=\beta$. Tìm mệnh đề đúng.
A. $\log_8\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=9\left(\dfrac{\alpha}{3}-\beta\right)$.
B. $\log_8\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=\dfrac{\alpha}{3}+\beta$.
C. $\log_8\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=\dfrac{\alpha}{3}-\beta$.
D. $\log_8\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=9\left(\dfrac{\alpha}{3}+\beta\right)$.

Lời giải câu 21
Ta có $\log_8\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=\log_{2^3}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)^3=\log_2\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{y}\right)=\log_2\sqrt[3]{x}-\log_2y=\dfrac{1}{3}\log_2x-\log_2y=\dfrac{\alpha}{3}-\beta$.

Câu 22. Biết hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ đạt cực trị tại điểm $x=1$, $f(1)=-3$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$. Phương trình $f(x)=2$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.

Lời giải câu 22
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$ nên $c=2$.
Ta có $f(1)=-3\Leftrightarrow 1+a+b+c=-3\Leftrightarrow a+b=-6.\quad (1)$
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ nên $f'(1)=0\Leftrightarrow 3+2a+b=0\Leftrightarrow 2a+b=-3.\quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ $\left\{\begin{aligned}& a+b=-6
&2a+b=-3 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& a=3
& b=-9. \end{aligned}\right.$
Do đó $f(x)=2\Leftrightarrow x^3+3x^2-9x+2=2\Leftrightarrow x\left(x^2+3x-9\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=0
& x=\dfrac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\right.$
Vậy phương trình $f(x)=2$ có $3$ nghiệm phân biệt.

Câu 23. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, $f'(x)\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ và $f(4)=15$. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
A. $f(5)-f(7)=4$.
B. $f(2)+f(-2)=30$.
C. $f(-3)>f(3)$.
D. $f(5)=10$.

Lời giải câu 23
Từ giả thiết suy ra hàm số $f(x)$ không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, không thể xảy ra $f(-3)>f(3)$ vì $-3< 3$, không thể xảy ra $f(5)=10$ vì $5>4$ và $f(4)=15$, không thể xả ra $f(5)-f(7)=4$ vì từ $f(5)-f(7)=4$ suy ra $f(5)>f(7)$ mà $5< 7$. Vậy chỉ có thể xảy ra $f(2)+f(-2)=30$.

Câu 24. CHÈN HÌNH CÂU 24
{Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ bên. Hỏi $(C)$ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y=x^3-1$.
B. $y=x^3+1$.
C. $y=(x-1)^3$.
D. $y=(x+1)^3$.
}

Lời giải câu 24
Bốn hàm số trong $4$ phương án đều là hàm số đa thức bậc $3$.
Đường cong $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$ nên không thể là đồ thị của các hàm số $y=x^3+1$, $y=(x+1)^3$.
Quan sát hình dáng của $(C)$ suy ra $y'=0$ tại $x=1$. Cho nên $(C)$ không thể là đồ thị của hàm số $y=x^3-1$.
Vậy $(C)$ là đồ thị của hàm số $y=(x-1)^3$.

Câu 25. Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+5x}$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.

Lời giải câu 25
Tập xác định $\mathscr{D}=[-4;+\infty) \setminus \{0\}$.
Ta có $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+5x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x}{x(x+5)(\sqrt{x+4}+2)}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{(x+5)(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{20}$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
Tiếp đến, $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+5x}=0$ nên $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có $1$ đường tiệm cận.

Câu 26. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hai hàm số $y=x^{4}+m x^{3}-m x+2019$ ($m$ là tham số) và $y=-x+2019$ với mọi giá trị của $m$?
A. $A(-1; 2020)$; $C(0; 2019)$.
B. $C(0; 2019)$.
C. $A(-1; 2020); B(1; 2020)$.
D. $A(-1; 2020)$.

Lời giải câu 26
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là \begin{eqnarray*} & & x^{4}+m x^{3}-m x+2019=-x+2019
&\Leftrightarrow &x^{4}+m x^{3}-m x+x=0
&\Leftrightarrow & x\left(x^{3}+m x^{2}-m+1\right)=0
&\Leftrightarrow& x(x+1)\left[x^{2}+(m-1) x-m+1\right]=0
&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}& x=0 \Rightarrow y=2019
& x=-1 \Rightarrow y=2020
&x^{2}+(m-1) x-m+1=0. \end{aligned}\right. \end{eqnarray*} Vậy có $2$ điểm thuộc đồ thị hai hàm số $y=x^{4}+m x^{3}-m x+2019$ và $y=-x+2019$ với mọi $m$ là $A(-1; 2010)$, $C(0; 2019)$.

Câu 27. Bất phương trình $\log _3\left(x^2-x+7\right)< 2$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$. Tính $b-a$.
A. $b-a=1$.
B. $b-a=-3$.
C. $b-a=3$.
D. $b-a=-1$.

Lời giải câu 27
Ta có $x^2-x+7=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{27}{4}>0,\ \forall x\in\mathbb{R}$.
Khi đó $\log _3\left(x^2-x+7\right)< 2 \Leftrightarrow x^2-x+7< 9 \Leftrightarrow x^2-x-2< 0 \Leftrightarrow-1< x< 2$.
Tập nghiệm là $S=(-1; 2)$. Suy ra $a=-1$, $b=2$.
Vậy $b-a=2+1=3$.

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}=(3;0;1)$, $\overrightarrow{c}=(1;1;0)$. Tìm tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
A. $\overrightarrow{b}=(-2;1;-1)$.
B. $\overrightarrow{b}=(5;2;1)$.
C. $\overrightarrow{b}=(-1;2;-1)$.
D. $\overrightarrow{b}=(1;-2;1)$.

Lời giải câu 28
Gọi $\overrightarrow{b}=\left(x; y; z\right)$. Ta có $$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& x-3+2\cdot 1=0
& y-0+2\cdot 1=0
& z-1+2\cdot 0=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& x=1
& y=-2
& z=1. \end{aligned}\right.$$ Vậy $\overrightarrow{b}=(1;-2;1)$.

Câu 29. CHÈN HÌNH CÂU 29
Cho khối nón có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$. Tìm tỉ lệ của diện tích xung quanh và thể tích khối nón đó.
A. $\dfrac{S_\text{xq}}{V}=\dfrac{3\sqrt{R^2+h^2}}{Rh}$.
B. $\dfrac{S_\text{xq}}{V}=3\sqrt{\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{h}}$.
C. $\dfrac{S_\text{xq}}{V}=\dfrac{\sqrt{R^2+h^2}}{3Rh}$.
D. $\dfrac{S_\text{xq}}{V}=\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+\dfrac{1}{h^2}}$.

Lời giải câu 29
{Ta có diện tích xung quanh của hình nón là $S_\text{xq}=\pi R\ell =\pi R\sqrt{R^2+h^2}$.
Thể tích của khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h$.
Vậy $\dfrac{S_\text{xq}}{V}=\dfrac{3\sqrt{R^2+h^2}}{Rh}$.}

Câu 30. CHÈN HÌNH CÂU 30
Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo $a$.
A. $\dfrac{3a^3}{2}$.
B. $\dfrac{3a^3}{4}$.
C. $\dfrac{4a^3}{3}$.
D. $\dfrac{a^3}{4}$.

Lời giải câu 30
{Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều và cạnh bên vuông góc với đáy.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều là $V=S_{ABC}\cdot AA'=\dfrac{3a^3}{4}$.}

Câu 31. CHÈN HÌNH CÂU 31
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $a$. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp hình nón đó.
A. $(2+\sqrt{3})\pi a^2$.
B. $\dfrac{1+2\sqrt{3}}{4}\pi a^2$.
C. $(1+\sqrt{3})\pi a^2$.
D. $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\pi a^2$.

Lời giải câu 31
{Chiều cao của hình trụ bằng chiều cao của hình nón $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Bán kính hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy của hình nón $r=\dfrac{a}{2}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp hình nón là $$S_{\text{tp}}=S_\text{xq}+2S_\text{đáy}=2\pi r h+2\pi r^2=2\pi r(h+r)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\pi a^2.$$}

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $S(4; 2; 2)$ và các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt thuộc các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ sao cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $18$.
B. $36$.
C. $\dfrac{8}{3}$.
D. $\dfrac{16}{3}$.

Lời giải câu 32
Giả sử $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$.
Khi đó $\overrightarrow{SA}=(a-4;-2;-2)$, $\overrightarrow{SB}=(-4;b-2;-2)$, $\overrightarrow{SC}=(-4;-2;c-2)$.
Theo bài ra ta có $\left\{\begin{aligned}& \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=0
& \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=0
& \overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& -4a-2b+24=0
& -4a-2c+24=0
& -2b-2c+24=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& a=3
& b=6
& c=6. \end{aligned}\right.$
Suy ra $SA=3$, $SB=6$, $SC=6$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{6}\cdot SA\cdot SB\cdot SC=\dfrac{1}{6}\cdot 3\cdot 6\cdot 6=18$.

Câu 33. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Tồn tại hình chóp có số cạnh gấp đôi số mặt.
B. Tồn tại hình lăng trụ có số cạnh gấp đôi số mặt.
C. Tồn tại hình lăng trụ có số cạnh bằng số mặt.
D. Tồn tại hình chóp có số cạnh bằng số mặt.

Lời giải câu 33
Xét $n$ là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $3$.
Hình chóp $n-$giác có $2n$ cạnh và $(n+1)$ mặt. Ta xét các trường hợp sau $2n=2(n+1)\Leftrightarrow 0=1$ (vô lý), vì thế không tồn tại hình chóp có số cạnh gấp đôi số mặt. $2n=n+1\Leftrightarrow n=1< 3$ nên không tồn tại hình chóp có số cạnh bằng số mặt. Hình lăng trụ $n-$ giác có $3n$ cạnh và $(n+2)$ mặt. Ta xét các trường hợp sau $3n=n+2\Leftrightarrow n=1 < 3$, vì thế không tồn tại hình lăng trụ có số cạnh bằng số mặt. $3n=2(n+2)\Leftrightarrow n=4$. Vậy tồn tại hình lăng trụ tứ giác có số cạnh gấp đôi số mặt.

Câu 34. CHÈN HÌNH CÂU 34
Cho đồ thị hàm số $y=\sin x$ như hình dưới, tìm tập hợp tất cả các số thực $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ để $\sin |x|>0$.
A. $(0; \pi)$.
B. $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
C. $\left[-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)\cup (0; \pi)$.
D. $\left(-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)\cup (0; \pi)$.

Lời giải câu 34
Hàm số $y=\sin |x|$ là hàm số chẵn nên có đồ thị trên $[-2\pi; 2\pi]$ như sau Quan sát đồ thị ta có tập hợp tất cả các số thực $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ để $\sin |x|>0$ là $\left[-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)\cup (0; \pi)$.

Câu 35. Bốn cặp vợ chồng được xếp ngẫu nhiên vào một băng ghế dài để ngồi xem phim. Tính xác suất sao cho bất kì người vợ nào cũng chỉ ngồi kề với chồng cô ấy hoặc một phụ nữ khác
A. $\dfrac{17}{840}$.
B. $\dfrac{407}{20160}$.
C. $\dfrac{103}{6720}$.
D. $\dfrac{31}{6720}$.

Lời giải câu 35
Xếp $4$ cặp vợ chồng ($8$ người) ngẫu nhiên vào một băng ghế dài để ngồi xem phim có $8!$ cách nên $n(\Omega)=8 !=40320$.
Gọi $A$ là biến cố \lq\lq Bất kì người vợ nào cũng chỉ ngồi kề với chồng cô ấy hoặc một phụ nữ khác\rq\rq. Ta có các trường hợp sau \textbf{Trường hợp 1.} $4$ người vợ ngồi kế bên nhau có $4!\times 3!\times 2+4!\times 2!\times 2+4!\times 2=432$ cách. \textbf{Trường hợp 2.} $3$ người vợ ngồi kế bên nhau có $4!\times 2!\times 2+4!\times 2!\times 2=192$ cách. \textbf{Trường hợp 3.} $2$ người vợ ngồi kế bên nhau có $4!\times 2!+4!\times 2!\times 2+4!\times 2=192$ cách. Do đó $n(A)=432+192+192=816$.
Vậy $\mathrm{P}(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{816}{40320}=\dfrac{17}{840}$.

Câu 36. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị $(C)$. Giả sử đường thẳng $(d)\colon y=ax+b$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ dương. Tính $a-b$ biết rằng $(d)$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $OB=9OA$.
A. $10$.
B. $34$.
C. $-2$.
D. $-16$.

Lời giải câu 36
Đường thẳng $(d)$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại $A\left(\dfrac{-b}{a}; 0\right)$ và $B(0; b)$.
Vì $OB=9OA$ nên $|b|=9\left|\dfrac{b}{a}\right| \Leftrightarrow|a|=9 \Leftrightarrow a=\pm 9$.
Với $a=-9$. Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ bằng $-9$ nên ta có phương trình $3x_0^2-6x_0=-9$ (vô nghiệm).
Với $a=9$. Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ bằng $9$ nên ta có phương trình $$3x_0^2-6x_0=9 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1&&\text{(loại)}
&x_0=3&&\text{(nhận)}. \end{aligned}\right.$$ Với $x_0=3$, ta có phương trình tiếp tuyến là $y=9x-25$.
Suy ra $a=9$, $b=-25$.
Vậy $a-b=34$.

Câu 37. CHÈN HÌNH CÂU 37
Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a\sqrt{3}$ và $AD=a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với giao điểm $O$ của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B'$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ theo $a$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải câu 37
{Dễ dàng chứng minh được $(CB'D')\parallel (A'BD)$ nên $$\mathrm{d}\left[B', (A'BD)\right]=\mathrm{d}\left[C, (A'BD)\right].$$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $BD$.
Ta có $A'O\perp (ABCD)$ và $A'O\subset (A'BD)$ nên $$(A'BD)\perp (ABCD).$$ Suy ra $\mathrm{d}\left[C, (A'BD)\right]=CH=\sqrt{\dfrac{CB^2\cdot CD^2}{CB^2+CD^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\mathrm{d}\left[B', (A'BD)\right]=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.}

Câu 38. CHÈN HÌNH CÂU 38
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$. Biết hàm số có điểm cực đại là $x=3$ và điểm cực tiểu là $x=6$. Hỏi hàm số $y=g(x)=f\left(x^2-2x+4\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(1; 2)$.
B. $(2; 3)$.
C. $(0; 1)$.
D. $(3; 4)$.

Lời giải câu 38
Hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có $x_\text{CĐ}=3< x_\text{CT}=6$ nên $a>0$ và $f'(3)=f'(6)=0$.
Ta có $g'(x)=(2x-2)f'\left(x^2-2x+4\right)$. Khi đó, $$g'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& 2x-2=0
& f'\left(x^2-2x+4\right)=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=1
& x^2-2x+4=3
& x^2-2x+4=6 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=1
& x=1+\sqrt{3}
& x=1-\sqrt{3}. \end{aligned}\right.$$ Bảng xét dấu $g'(x)$ như sau Suy ra $g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty; 1- \sqrt{3}\right)$ và $\left(1; 1+\sqrt{3}\right)$.
Vậy $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.

Câu 39. Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m\in (-20; 20)$ để hàm số $y=\left|x^4-2x^2+m\right|$ có $7$ điểm cực trị.
A. $20$.
B. $18$.
C. $1$.
D. $0$.

Lời giải câu 39
Hàm số $f(x)=x^4-2x^2+m$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ và $f'(x)=4x^3-4x$.
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0
& x=\pm 1. \end{aligned}\right.$
Đồ thị hàm số $f(x)$ có $3$ điểm cực trị là $A(0; m)$, $B(-1; m-1)$, $C(1; m-1)$.
Hàm số $y=\left|x^4-2x^2+m\right|=\left|f(x)\right|$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $f(x)$ có điểm $A$ nằm phía trên trục $Ox$ và $2$ điểm $B$, $C$ nằm phía dưới trục $Ox$. Điều kiện tương đương là $$m-1< 0< m\Leftrightarrow 0< m< 1.$$ Vậy không có giá trị nguyên $m\in (-20; 20)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 40. Cho hàm số $y=\log\limits_3\left(x^3-mx-2\right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $\left(1;\mathrm{e}^2\right)$.
A. Vô số.
B. $2$.
C. $0$.
D. $4$.

Lời giải câu 40
Trước hết, ta cần tìm $m$ thỏa mãn điều kiện $$x^3-mx-2>0,\ \forall x\in \left(1;\mathrm{e}^2\right)\Leftrightarrow m< \dfrac{x^3-2}{x}, \ \forall x\in \left(1;\mathrm{e}^2\right).\quad (*)$$ Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x}$ trên $\left(1;\mathrm{e}^2\right)$.
Ta có $f'(x)=\dfrac{2x^3+2}{x^2}>0,\ \forall x\in \left(1;\mathrm{e}^2\right)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\left(1;\mathrm{e}^2\right)$.
Từ $(*)$ suy ra $m\leq f(1)=-1$.
Khi đó $y'=\dfrac{3x^2-m}{\left(x^3-mx-2\right)\ln 3}> 0,\ \forall x\in \left(1;\mathrm{e}^2\right)$ nên hàm số đã cho không nghịch biến trên $\left(1;\mathrm{e}^2\right)$.
Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 41. Tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-2019; 2020)$ để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3+x^2+mx-1$ nằm bên phải trục tung.
A. $2020$.
B. $2019$.
C. $2017$.
D. $2018$.

Lời giải câu 41
Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $y'=3x^2+2x+m$ và phương trình $y'=0\Leftrightarrow 3x^2+2x+m=0$ có $\Delta'=1-3m$.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $\Delta'>0\Leftrightarrow 1-3m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{3}$.
Khi đó, gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y'=0$. Giả sử $x_1< x_2$, suy ra $x_2$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Vì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung nên $x_2>0$.
Theo định lý Vi-et ta có $\left\{\begin{aligned}& x_1+x_2=-\dfrac{2}{3}
& x_1x_2=\dfrac{m}{3}. \end{aligned}\right.$
Do $x_1+x_2=-\dfrac{2}{3}< 0$ và $x_2>0$ nên $x_1< 0$.
Như thế $x_1\cdot x_2=\dfrac{m}{3}< 0\Leftrightarrow m< 0$.
Kết hợp với điều kiện $m< \dfrac{1}{3}$ thì có tất cả $2018$ giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-2019; 2020)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 42. CHÈN HÌNH CÂU 42
Cho hàm số $$f(x)=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}+\dfrac{x^{2021}}{2021!}\right)\left(1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}-\dfrac{x^{2021}}{2021!}\right).$$ Gọi $a$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1; 2]$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $a \in (0;3]$.
B. $a \in (-\infty;-1]$.
C. $a \in [3;+\infty)$.
D. $a \in (-1;0]$.

Lời giải câu 42
Đặt $u(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}+\dfrac{x^{2021}}{2021!}$, $u_1(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}$, $v(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}-\dfrac{x^{2021}}{2021!}$, $v_1(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}$. Để ý thấy $u'(x)=u_1(x)$ và $v'(x)=-v_1(x)$.
Ta có \begin{eqnarray*} f'(x)&=&u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=u_1(x)\left[v_1(x)-\dfrac{x^{2021}}{2021!}\right]-\left[u_1(x)+\dfrac{x^{2021}}{2021!}\right]v_1(x)
&=&-\dfrac{x^{2021}}{2021!}\left[u_1(x)+v_1(x)\right]=-\dfrac{2x^{2021}}{2021!}\underset{>0}{\underbrace{\left[1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+ \cdots +\dfrac{x^{2020}}{2020!}\right]}}. \end{eqnarray*} Do đó, $f'(x)=0\Leftrightarrow x^{2021}=0\Leftrightarrow x=0\in [-1; 2]$.
Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $[-1; 2]$ như sau Vậy $a=\max\limits_{x\in [-1; 2]}f(x)=f(0)=1\in (0; 3]$.

Câu 43. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x}{2020^x+1}$. Đặt $S_1=f(1)+f(2)+ \cdots +f(100)$ và $$S_2=f(-1)+f(-2)+ \cdots +f(-100).$$ Tính $S_1-S_2$.
A. $100$.
B. $10100$.
C. $200$.
D. $5050$.

Lời giải câu 43
Ta có $f(x)-f(-x)=\dfrac{x}{2020^x+1}+\dfrac{x}{2020^{-x}+1}=\dfrac{x}{2020^x+1}+\dfrac{x\cdot2020^x}{2020^x+1}=x$.
Vậy \begin{eqnarray*} S_1-S_2&=&f(1)+f(2)+ \cdots +f(100)-\left[f(-1)+f(-2)+ \cdots +f(-100)\right]
&=&\left[f(1)-f(-1)\right] +\left[f(2)-f(-2)\right]+ \cdots +\left[f(100)-f(-100)\right]
&=&1+2+ \cdots +100=5050. \end{eqnarray*}

Câu 44. CHÈN HÌNH CÂU 44
{Cho hàm số $y=\dfrac{a x-2}{x+b}$ có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $b< a< 0$.
B. $0< b< a$.
C. $0< a< b$.
D. $b< 0< a$.
}

Lời giải câu 44
Quan sát đồ thị ta có tiệm cận ngang $y=a$ nằm phía trên $Ox$ nên $a>0$, đường tiệm cận đứng $x=-b$ nằm bên trái $Oy$ nên $-b< 0 \Leftrightarrow b>0$.
Giao điểm của hai tiệm cận là $I(a; -b)$. Ta thấy $\mathrm{d}(I, Ox)>\mathrm{d}(I, Oy)\Leftrightarrow |a|>|b|\Leftrightarrow a>b$.
Vậy $0< b< a$.

Câu 45. Trong không gian cho tam giác $ABC$ có $AB=4$, $BC=6$, $CA=8$. Tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0$ là mặt cầu có đường kính bằng bao nhiêu?
A. Mặt cầu đường kính bằng $4$.
B. Mặt cầu đường kính bằng $2$.
C. Mặt cầu đường kính bằng $1$.
D. Mặt cầu đường kính bằng $3$.

Lời giải câu 45
Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Suy ra $IJ=\dfrac{AC}{2}=4$.
Ta có $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0\Leftrightarrow MI\perp MJ$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ trong không gian là mặt cầu đường kính $IJ=4$.

Câu 46. Cho hàm số $y=\dfrac{(2m+1)x-6}{x+1}$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ và đường thẳng $\Delta\colon y=x-1$. Giả sử $\Delta$ cắt $\left(C_m\right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là điểm thuộc đường tròn $(C)\colon (x+2)^2+(y-3)^2=2$. Giá trị của $m$ để tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(1;2)$.
B. $(2;3)$.
C. $(-4;-3)$.
D. $(3;4)$.

Lời giải câu 46
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $\left(C_m\right)$ và $\Delta$ là $$\dfrac{(2m+1)x-6}{x+1}=x-1\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& (2m+1)x-6=x^2-1
& x\neq -1 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& x^2-(2m+1)x+5=0, & (1)
& x\neq -1. & \end{aligned}\right.$$ Đường thẳng $\Delta$ cắt $\left(C_m\right)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$. Điều kiện tương đương là $$\left\{\begin{aligned}& (2m+1)^2-20>0
& m\neq -\dfrac{7}{2} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& m\in \left(-\infty; \dfrac{-1-2\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2}; +\infty\right)
& m\neq -\dfrac{7}{2}. \end{aligned}\right.$$ Khi đó, tọa độ hai giao điểm là $A\left(x_A; x_A-1\right)$, $B\left(x_B; x_B-1\right)$. Trong đó $x_A$, $x_B$ là nghiệm của phương trình $(1)$.
Suy ra $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{x_A+x_B-2}{2}\right)$ hay $M\left(\dfrac{2m+1}{2};\dfrac{2m-1}{2}\right)$.
Tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$ nên $N=\mathrm{Q}_{\left(O,90^\circ\right)}$ hoặc $N=\mathrm{Q}_{\left(O,-90^\circ\right)}$.
Suy ra $N\left(\dfrac{-2m+1}{2};\dfrac{2m+1}{2}\right)$ hoặc $N\left(\dfrac{2m-1}{2};\dfrac{-2m-1}{2}\right)$.
Trường hợp $N\left(\dfrac{-2m+1}{2};\dfrac{2m+1}{2}\right)$. Vì $N\in (C)$ nên $(5-2m)^2=4\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& m=\dfrac{3}{2} && (\text{loại})
& m=\dfrac{7}{2} && (\text{nhận}). \end{aligned}\right.$
Trường hợp $N\left(\dfrac{2m-1}{2};\dfrac{-2m-1}{2}\right)$. Vì $N\in (C)$ nên $4m^2+20m+25=0 \Leftrightarrow m=-\dfrac{5}{2}$ (loại).
Do đó, giá trị $m$ tìm được là $m=\dfrac{7}{2}$.
Vậy $m\in (3; 4)$.

Câu 47. CHÈN HÌNH CÂU 47
Cho $y=f(x)=\left|x^{2}-5 x+4\right|+m x$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho giátrị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ lớn hơn $1$. Tính số các phần tử của tập hợp $S$.
A. $7$.
B. $8$.
C. $6$.
D. $5$.

Lời giải câu 47
Hàm số $f(x)$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $\min\limits_{x \in \mathbb{R}} f(x)>1\Leftrightarrow f(x)>1,\ \forall x\in\mathbb{R}$.
Vì $f(0)=4>1$ nên $$\left|x^{2}-5 x+4\right|+m x>1, \,\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& m>\max \dfrac{1-\left|x^{2}-5 x+4\right|}{x},\ \forall x>0
& m< \min \dfrac{1-\left|x^{2}-5 x+4\right|}{x},\ \forall x< 0. \end{aligned}\right.\quad (*)$$ Xét hàm số $g(x)=\dfrac{1-\left|x^{2}-5 x+4\right|}{x}=\left[\begin{aligned}&-x-\dfrac{3}{x}+5&& \text{khi}\ x \in(-\infty; 0) \cup(0; 1) \cup(4; +\infty)
& x+\dfrac{5}{x}-5&& \text{khi}\ x \in[1; 4]. \end{aligned}\right.$ Với $x \in(-\infty; 0) \cup(0; 1) \cup(4; +\infty)$. Ta có $g'(x)=-1+\dfrac{3}{x^2}=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=\sqrt{3}&& \text{ (loại)}
& x=-\sqrt{3}&&\text{ (nhận)}. \end{aligned}\right.$ Với $x\in [1;4]$. Ta có $g'(x)=1-\dfrac{5}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=\sqrt{5}&&\text{ (nhận)}
& x=-\sqrt{5}&&\text{ (loại)}. \end{aligned}\right.$ Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ như sau Dựa vào bảng biến thiên ta có $(*)$ xảy ra khi $1< m< 5+2 \sqrt{3}$.
Vậy có $7$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 48. CHÈN HÌNH CÂU 48
Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $2020$. Gọi $M$, $N$ và $P$ lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA'}$ và $\overrightarrow{PB}=-3\overrightarrow{PC'}$. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $M$, $N$, $P$.
A. $620$.
B. $505$.
C. $\dfrac{2525}{3}$.
D. $\dfrac{2020}{3}$.

Lời giải câu 48
{Từ giả thiết ta có $M$ là trung điểm của $A'C$ và $\dfrac{BN}{BA'}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{BP}{BC'}=\dfrac{3}{4}$.
Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $V=2020$.
Thể tích của khối chóp $B.A'B'C'$ là $V_{B.A'B'C'}=\dfrac{1}{3}V=\dfrac{2020}{3}$.
Thể tích của khối chóp $B.ACC'A'$ là $$V_{B.ACC'A'}=V-V_{B.A'B'C'}=2020-\dfrac{2020}{3}=\dfrac{4040}{3}.$$ Thể tích của khối chóp $B.MA'C'$ là $V_{B.MA'C'}=\dfrac{1}{4}V_{B.ACC'A'}=\dfrac{1010}{3}$. } Ta có $\dfrac{V_{B.MNP}}{V_{B.MA'C'}}=\dfrac{BN}{BA'}\cdot\dfrac{BP}{BC'}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow V_{MNPC'A'}=V_{B.MA'C'}- V_{B.MNP}=\dfrac{1}{2}V_{B.MA'C'}=\dfrac{505}{3}$.
Tương tự $$\dfrac{V_{B.NB'P}}{V_{B.A'B'C'}}=\dfrac{BN}{BA'}\cdot\dfrac{BP}{BC'}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow V_{PNA'B'C'}=V_{B.A'B'C'}-V_{B.NB'P}=\dfrac{1}{2}V_{B.A'B'C'}=\dfrac{1010}{3}.$$ Vậy thể tích khối đa diện cần tính là $V_{MNPA'B'C'}=V_{MNPC'A'}+V_{PNA'B'C'}=\dfrac{505}{3}+\dfrac{1010}{3}=505$.

Câu 49. CHÈN HÌNH CÂU 49
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $1$. Gọi $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC$, $CD$ sao cho $MN$ luôn bằng $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $SAMN$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$.
C. $\dfrac{1+\sqrt{2}}{12}$.
D. $\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$.

Lời giải câu 49
{Đặt $BM=x$, $0< x < 1$. Ta tính được $CM=1-x$, $CN=\sqrt{2x-x^2}$, $ND=1-\sqrt{2x-x^2}$.
Diện tích tam giác $AMN$ là \begin{eqnarray*} S_{AMN}&=&S_{ABCD}-\left(S_{ABM}+S_{MCN}+S_{NDA}\right)
&=&1-\dfrac{1}{2}\left[x+(1-x)\sqrt{2x-x^2}+1-\sqrt{2x-x^2}\right]
&=&\dfrac{1}{2}\left[1-x+\sqrt{2x-x^2}-(1-x)\sqrt{2x-x^2}\right]. \end{eqnarray*}} Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Chiều cao của khối tứ diện $SAMN$ là $SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó thể tích của khối tứ diện $SAMN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi diện tích của tam giác $AMN$ nhỏ nhất.
Xét $t=1-x+\sqrt{2x-x^2}$ với $x\in (0; 1)$. Ta có $t'=-1+\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$.
Khi đó $t'=0\Leftrightarrow \sqrt{2x-x^2}=1-x\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& x< 1
& 2x^2-4x+1=0 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& x< 1
& x=\dfrac{2\pm \sqrt{2}}{2} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Bảng biến thiên của $t$ trên $(0; 1)$ như sau Suy ra $t\in \left(1; \sqrt{2}\right]$.
Diện tích tam giác $AMN$ được viết lại là $S_{AMN}=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{t^2-1}{2}\right)=f(t)$.
Ta có $f'(t)=\dfrac{1}{2}(1-t)$ và $f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$.
Bảng biến thiên của $f(t)$ trên $\left(1; \sqrt{2}\right]$ như sau Suy ra $\min\limits_{t \in \left(1; \sqrt{2}\right]} f(t)=f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $SAMN$ là $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$.

Câu 50. CHÈN HÌNH CÂU 50
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ và $M$ là một điểm trong của khối lập phương đó. Gọi $V_1$, $V_2$ và $V_3$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện $M A' B' C'$, $MACD$, $MABB'$. Biết rằng $V_{1}=2 V_{2}=2 V_{3}$. Tính thể tích khối tứ diện $M A' C D$.
A. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$.
B. $\dfrac{a^{3}}{24}$.
C. $\dfrac{a^{3}}{18}$.
D. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{18}$.

Lời giải câu 50
{Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với $(ABCD)$ và $(\alpha)$ cắt $AA'$ tại $E$ sao cho $EA'=2EA$.
Vì $V_{1}=2 V_{2}$ nên $$\mathrm{d}\left(M, \left(A'B'C'D'\right)\right)=2 \mathrm{d}(M, (ABCD)) \Rightarrow M \in(\alpha).$$ Tiếp đến, $V_2=V_3$ nên $$ \mathrm{d}\left(M,\left(AA'B'B\right)\right)=\mathrm{d}(M,(ABCD)) \Rightarrow M \in \left(ABC'D'\right).$$ Gọi $O_1$, $O_2$ lần lượt là giao điểm của $AD'$ và $BC'$ với $(\alpha)$. Khi đó $M \in O_{1} O_{2}\parallel \left(A' D C\right)$. } Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ADD'A'$.
Ta tính được $\mathrm{d}\left(M,\left(A'DC\right)\right)=\mathrm{d}\left(O_1,\left(A'DC\right)\right)=O_1O=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$.
Diện tích tam giác $A'DC$ là $S_{ADC}=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot a=\dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$.
Vậy thể tích khối tứ diện $MA'CD$ là $V_{MACD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{6}=\dfrac{a^3}{18}$.

   Số câu đúng