Đề số 4 ôn giai đoạn cuối

Thời gian làm bài:

Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $3$ chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$?
A. $\mathrm{P}_6$.
B. $\mathrm{C}_6^3$.
C. $\mathrm{A}_6^3$.
D. $18$.

Lời giải câu 1
Mỗi cách chọn $3$ chữ số khác nhau từ $6$ chữ số đã cho và sắp xếp chúng theo một tứ tự nhất định là một chỉnh hợp chập $3$ của $6$.
Vậy có tất cả $\mathrm{A}_6^3$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.

Câu 2. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-2$ và $u_2=4$. Giá trị của $u_3$ bằng
A. $-8$.
B. $-6$.
C. $6$.
D. $10$.

Lời giải câu 2
Công bội của cấp số nhân $(u_n)$ là $q=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{4}{-2}=-2$.
Do đó, $u_3=u_2\cdot q= 4\cdot (-2)=-8$.

Câu 3. CHÈN HÌNH CÂU 3
Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $(0;1)$.
B. $(0;+\infty)$.
C. $(-\infty;-1)$.
D. $(-1;0)$.

Lời giải câu 3
Dựa vào bảng biến thiên đã cho Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$.

Câu 4. CHÈN HÌNH CÂU 4
Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. $x=-2$.
B. $x=3$.
C. $x=4$.
D. $x=1$.

Lời giải câu 4
Dựa vào bảng biến thiên đã cho Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=3$ và giá trị cực đại của hàm số $y=f(x)$ bằng $4$. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ bằng $-2$.

Câu 5. Đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị hàm số $y=3x^3+x^2-2$ tại điểm có tung độ bằng
A. $0$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.

Lời giải câu 5
Thay $x=1$ vào hàm số $y=3x^3+x^2-2$ ta được $y=2$.
Vậy đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị hàm số $y=3x^3+x^2-2$ tại điểm có tung độ bằng $2$.

Câu 6. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^2}$ bằng
A. $a^{\frac{2}{3}}$.
B. $a^{\frac{3}{2}}$.
C. $a^{-1}$.
D. $a^{\frac{1}{3}}$.

Lời giải câu 6
Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$.

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y=\log_3 x$ là
A. $y'=\dfrac{\ln 3}{x}$.
B. $y'=\dfrac{1}{x\ln 3}$.
C. $y'=\dfrac{1}{3x}$.
D. $y'=\dfrac{3}{x}$.

Lời giải câu 7
Với mọi $x>0$, đạo hàm của hàm số $y=\log_3 x$ là $y'=\dfrac{1}{x\ln 3}$.

Câu 8. Nghiệm của phương trình $\log_9(2x)=\dfrac{1}{2}$ là
A. $x=2$.
B. $x=\dfrac{1}{2}$.
C. $x=1$.
D. $x=\dfrac{3}{2}$.

Lời giải câu 8
Ta có \[\log_9(2x)=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&2x>0 \\&2x=9^{\frac{1}{2}}\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x>0 \\&2x=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.\] Vậy phương trình $\log_9(2x)=\dfrac{1}{2}$ có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{3}{2}$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x)=2x+4x^3$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = 3x^4+x^2+C$.
B. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = x^4+x^2+C$.
C. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = 3x^4+2x^2+C$.
D. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = x^4+2x^2+C$.

Lời giải câu 9
Ta có $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int \left(2x+4x^3\right)\mathrm{\,d}x = 2\cdot \dfrac{x^2}{2}+4\cdot\dfrac{x^4}{4}+C=x^4+x^2+C$.

Câu 10. Cho hàm số $f(x)=\sin 3x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{3}\cos 3x+C$.
B. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cos 3x+C$.
C. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\cos 3x+C$.
D. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\cos 3x+C$.

Lời giải câu 10
Ta có $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \sin 3x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int \sin 3x\mathrm{\,d}(3x)=-\dfrac{1}{3}\cos 3x+C$.

Câu 11. Nếu $\displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x=-1$ và $\displaystyle\int\limits_2^5 f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\int\limits_3^5 f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $3$.
B. $5$.
C. $-5$.
D. $-3$.

Lời giải câu 11
Ta có $\displaystyle\int\limits_2^5 f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int\limits_3^5 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Do đó, $\displaystyle\int\limits_3^5 f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\limits_2^5 f(x)\mathrm{\,d}x - \displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x = 4-(-1)=5$.

Câu 12. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{-2}^1 x^3\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $-\dfrac{9}{4}$.
B. $\dfrac{17}{4}$.
C. $17$.
D. $-\dfrac{15}{4}$.

Lời giải câu 12
Ta có $\displaystyle\int\limits_{-2}^1 x^3\mathrm{\,d}x = \dfrac{x^4}{4}\bigg|_{-2}^1 = \dfrac{1^4}{4}-\dfrac{(-2)^4}{4} = -\dfrac{15}{4}$.

Câu 13. Số phức liên hợp của số phức $z=1-2i$ là
A. $\overline{z}=1+2i$.
B. $\overline{z}=-1+2i$.
C. $\overline{z}=-1-2i$.
D. $\overline{z}=2-i$.

Lời giải câu 13
Số phức liên hợp của số phức $z=1-2i$ là $\overline{z}=1+2i$.

Câu 14. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $z=-1+3i$ có tọa độ là
A. $(3;-1)$.
B. $(1;-3)$.
C. $(-1;-3)$.
D. $(-1;3)$.

Lời giải câu 14
Điểm biểu diễn của số phức $z=-1+3i$ là $M(-1;3)$.

Câu 15. Cho hai số phức $z_1=2+3i$ và $z_2=5-i$. Số phức $z_2-z_1$ bằng
A. $3+4i$.
B. $-3+4i$.
C. $-3-4i$.
D. $3-4i$.

Lời giải câu 15
Ta có $z_2-z_1=(5-i)-(2+3i) = 5-i-2-3i=3-4i$.

Câu 16. Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng $3$.
A. $12$.
B. $9$.
C. $27$.
D. $36$.

Lời giải câu 16
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng $3$ là $V=3^3=27$.

Câu 17. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $7$ và chiều cao bằng $6$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. $26$.
B. $42$.
C. $39$.
D. $14$.

Lời giải câu 17
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $7$ và chiều cao bằng $6$ là $V=7\cdot 6=42$.

Câu 18. Một khối trụ có bán kính đáy $r=2\text{\,cm}$ và chiều cao $h=5\text{\,cm}$. Thể tích của khối trụ đó bằng
A. $\dfrac{20\pi}{3}\text{\,cm}^3$.
B. $10\pi\text{\,cm}^3$.
C. $50\pi\text{\,cm}^3$.
D. $20\pi\text{\,cm}^3$.

Lời giải câu 18
Thể tích của khối trụ đã cho là $V=\pi r^2 h = \pi\cdot 2^2\cdot 5 = 20\pi\text{\,cm}^3$.

Câu 19. Công thức tính diện tích xung quanh $S_{\text{xq}}$ của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $\ell$ là
A. $S_{\text{xq}}=2\pi r\ell$.
B. $S_{\text{xq}}=\pi r^2\ell$.
C. $S_{\text{xq}}=\pi r\ell$.
D. $S_{\text{xq}}=2\pi r^2\ell$.

Lời giải câu 19
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $\ell$ là $S_{\text{xq}}=\pi r\ell$.

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(2;-1;4)$ và $C(-1;3;5)$. Trọng tâm của tam giác $ABC$ có tọa độ là
A. $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};4\right)$.
B. $\left(\dfrac{4}{3};2;4\right)$.
C. $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};4\right)$.
D. $\left(2;\dfrac{2}{3};4\right)$.

Lời giải câu 20
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Ta có \[\left\{\begin{aligned}&x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3} \\&y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3} \\&z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_G=\dfrac{1+2-1}{3} \\&y_G=\dfrac{2-1+3}{3} \\&z_G=\dfrac{3+4+5}{3}\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_G=\dfrac{2}{3} \\&y_G=\dfrac{4}{3} \\&z_G=4.\end{aligned}\right.\] Vậy $G\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};4\right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, tâm của mặt cầu $(S)\colon (x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4$ có tọa độ là
A. $(1;-1;2)$.
B. $(1;0;-1)$.
C. $(-1;0;1)$.
D. $(1;2;-1)$.

Lời giải câu 21
Mặt cầu $(S)\colon (x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4$ có tâm $I(1;0;-1)$ và bán kính $R=2$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng có phương trình nào dưới đây \textbf{không} đi qua điểm $M(1;-2;3)$?
A. $x-2y+z-8=0$.
B. $3x-y+z-8=0$.
C. $2x-3y+z-10=0$.
D. $2x-y+2z-10=0$.

Lời giải câu 22
Vì $2\cdot 1-3\cdot (-2)+3-10=1\neq 0$ nên mặt phẳng $(\alpha)\colon 2x-3y+z-10=0$ không đi qua điểm $M(1;-2;3)$. Vì $1-2\cdot (-2)+3-8=0$ nên mặt phẳng $(\beta)\colon x-2y+z-8=0$ đi qua điểm $M(1;-2;3)$. Vì $3\cdot 1-(-2)+3-8=0$ nên mặt phẳng $(\gamma)\colon 3x-y+z-8=0$ đi qua điểm $M(1;-2;3)$. Vì $2\cdot 1-(-2)+2\cdot 3-10=0$ nên mặt phẳng $(\rho)\colon 2x-y+2z-10=0$ đi qua điểm $M(1;-2;3)$.

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-2;1)$ và $B(0;3;2)$. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$?
A. $\overrightarrow{u}=(-2;5;-1)$.
B. $\overrightarrow{u}=(2;5;-1)$.
C. $\overrightarrow{u}=(-2;5;1)$.
D. $\overrightarrow{u}=(5;-2;1)$.

Lời giải câu 23
Đường thẳng $AB$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(-2;5;1)$.

Câu 24. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $A$ gồm $20$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho $3$ là
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{3}{10}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 24
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=20$.
Gọi $A$ là biến cố ``chọn được số nguyên dương chia hết cho $3$''.
Ta có $A=\{3;6;9;12;15;18\}$.
Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=6$.
Xác suất của biến cố $A$ là $\mathrm{P}(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.

Câu 25. CHÈN HÌNH CÂU 25
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$. Tính $\cos\varphi$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 25
{ Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Vì $BCD$ là tam giác đều nên $H$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$.
Suy ra $AH\perp (BCD)$. Cho nên $HB$ là hình chiếu vuông góc của $AB$ trên $(BCD)$.
Vậy góc giữa $AB$ và $(BCD)$ bằng góc giữa $AB$ và $HB$, chính là $\widehat{ABH}$ $\Big($vì $\widehat{AHB}=90^\circ \Big)$.
Ta có $BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. } Trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có $\cos\varphi=\cos\widehat{ABH}=\dfrac{BH}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Câu 26. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y=x-x^2+3$.
B. $y=3-2x-2x^3$.
C. $y=x^4-2x^2+2$.
D. $y=\dfrac{x+3}{x-1}$.

Lời giải câu 26
Hàm số $y=3-2x-2x^3$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ và đạo hàm $y'=-2-6x^2< 0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số $y=3-2x-2x^3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số bậc hai $y=x-x^2+3$, hàm số trùng phương $y=x^4-2x^2+2$ không thể luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ hoặc luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=\dfrac{x+3}{x-1}$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên nó không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 27. CHÈN HÌNH CÂU 27
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+3)(x+1)(x-2)(x-4)$. Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $4$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.

Lời giải câu 27
Ta có \[f'(x)=0 \Leftrightarrow (x+3)(x+1)(x-2)(x-4)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x+3=0 \\&x+1=0 \\&x-2=0 \\&x-4=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-3 \\&x=-1 \\&x=2 \\&x=4.\end{aligned}\right.\] Bảng xét dấu của $f'(x)$ Vì dấu của $f'(x)$ đổi từ dương sang âm khi qua các điểm $x=-3$, $x=2$ theo chiều tăng của $x$ nên hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại các điểm $x=-3$, $x=2$. Vì dấu của $f'(x)$ đổi từ âm sang dương khi qua các điểm $x=-1$, $x=4$ theo chiều tăng của $x$ nên hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại các điểm $x=-1$, $x=4$. Vậy hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Câu 28. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-\dfrac{x^2}{2}+1$ trên đoạn $[0;1]$. Tính $2M-3m$.
A. $\dfrac{3}{16}$.
B. $\dfrac{9}{16}$.
C. $\dfrac{13}{16}$.
D. $\dfrac{1}{16}$.

Lời giải câu 28
Hàm số $f(x)=x^4-\dfrac{x^2}{2}+1$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$.
Ta có $f'(x)=4x^3-x=x\left(4x^2-1\right)$. Khi đó, trên đoạn $[0;1]$ phương trình $f'(x)=0$ chỉ có hai nghiệm $x=0$, $x=\dfrac{1}{2}$.
Lại có $f(0)=1$, $f(1)=\dfrac{3}{2}$, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{15}{16}$.
Vậy $M=\max\limits_{[0;1]}f(x)=\dfrac{3}{2}$ và $m=\min\limits_{[0;1]}f(x)=\dfrac{15}{16}$.
Do đó, $2M-3m=2\cdot \dfrac{3}{2}-3\cdot \dfrac{15}{16} = \dfrac{3}{16}$.

Câu 29. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$ là đường thẳng
A. $y=-2$.
B. $y=1$.
C. $y=2$.
D. $y=3$.

Lời giải câu 29
Tập xác định của hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$ là $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Vì $\lim\limits_{x\to -\infty}y=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2x-3}{x-1} = \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x}} = 2$ và $\lim\limits_{x\to +\infty}y=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x-3}{x-1} = \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x}} = 2$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$.

Câu 30. CHÈN HÌNH CÂU 30
{ Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y=-2x^4+4x^2-1$.
B. $y=x^4+2x^2-1$.
C. $y=2x^4-4x^2-1$.
D. $y=-x^4-2x^2-1$.
}

Lời giải câu 30
Đường cong trong hình vẽ đã cho có dáng điệu của đồ thị hàm số trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ $(a\neq 0)$. Vì $\lim\limits_{x\to -\infty}y=\lim\limits_{x\to -\infty}\left[x^4\left(a+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x_4}\right)\right]=-\infty$ nên $a< 0$. Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị nên $ab< 0$ hay $b>0$ (vì $a< 0$). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$ và đi qua các điểm $(1;1)$, $(-1;1)$. Vậy hàm số thỏa mãn các yếu tố trên là $y=-2x^4+4x^2-1$

Câu 31. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_2\dfrac{a}{16}$ bằng
A. $4\log_2 a$.
B. $\log_2 a+4$.
C. $4-\log_2 a$.
D. $\log_2 a-4$.

Lời giải câu 31
Với $a$ là số thực dương tùy ý, ta có $\log_2\dfrac{a}{16} = \log_2 a-\log_2 16 = \log_2 a-4$.

Câu 32. Nghiệm của phương trình $4^{1-2x}=64$ là
A. $x=-1$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=-2$.

Lời giải câu 32
Ta có \[4^{1-2x}=64 \Leftrightarrow 4^{1-2x}=4^3 \Leftrightarrow 1-2x=3 \Leftrightarrow x=-1.\] Vậy phương trình $4^{1-2x}=64$ có nghiệm duy nhất $x=-1$.

Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^2-5}\leq 4\log_{\sqrt{2}}4$ là
A. $(-\infty;-3]$.
B. $[3;+\infty)$.
C. $[0;3]$.
D. $[-3;3]$.

Lời giải câu 33
Ta có \[2^{x^2-5}\leq 4\log_{\sqrt{2}}4 \Leftrightarrow 2^{x^2-5}\leq 16 \Leftrightarrow x^2-5\leq 4 \Leftrightarrow x^2-9\leq 0 \Leftrightarrow -3\leq x\leq 3.\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^2-5}\leq 4\log_{\sqrt{2}}4$ là $S=[-3;3]$.

Câu 34. Nếu $\displaystyle\int\limits_2^3\left[2-3f(x)\right]\mathrm{\,d}x=8$ thì $\displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $-3$.
B. $5$.
C. $-2$.
D. $2$.

Lời giải câu 34
Ta có \[\displaystyle\int\limits_2^3\left[2-3f(x)\right]\mathrm{\,d}x=8 \Leftrightarrow 2\displaystyle\int\limits_2^3\mathrm{d}x-3\displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x=8 \Leftrightarrow 2-3\displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x=8 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x=-2.\] Vậy $\displaystyle\int\limits_2^3 f(x)\mathrm{\,d}x=-2$.

Câu 35. Cho số phức $z=2+2i$. Mô-đun của số phức $(1-2i)z$ bằng
A. $2\sqrt{10}$.
B. $5\sqrt{2}$.
C. $40$.
D. $30$.

Lời giải câu 35
Ta có $w=(1-2i)z= (1-2i)(2+2i) = 2+2i-4i-4i^2=6-2i$.
Vậy $|w|=\sqrt{6^2+(-2)^2} = \sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

Câu 36. Cho số phức $z$ thỏa mãn $3z+\overline{z}=(2+i)\cdot (3-2i)^2$. Tính $|z+9i-5|$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải câu 36
Đặt $z=x+yi$ với $x$, $y\in\mathbb{R}$, ta có \begin{eqnarray*} 3z+\overline{z}=(2+i)\cdot (3-2i)^2&\Leftrightarrow& 3(x+yi)+x-yi=22-19i
&\Leftrightarrow&4x+2yi=22-19i
&\Leftrightarrow&\left\{\begin{aligned}&4x=22\\&2y=-19 \end{aligned}\right.
&\Leftrightarrow&\left\{\begin{aligned}&x=\dfrac{11}{2}\\&y=-\dfrac{19}{2}. \end{aligned}\right. \end{eqnarray*} Khi đó $z+9i-5=\dfrac{11}{2}-\dfrac{19}{2}i+9i-5=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$.
Vậy $|z+9i-5|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 37. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(0;1;0)$ và đi qua điểm $M(1;2;1)$ có phương trình
A. $x^2+(y-1)^2+z^2=1$.
B. $x^2+(y-1)^2+z^2=2$.
C. $x^2+(y-1)^2+z^2=3$.
D. $x^2+(y-1)^2+z^2=6$.

Lời giải câu 37
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(1-0)^2+(2-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{3}$.
Vậy phương trình mặt cầu có tâm $I(0;1;0)$ và đi qua điểm $M(1;2;1)$ là $x^2+(y-1)^2+z^2=3$.

Câu 38. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(2;-4;1)$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{6}=\dfrac{z-3}{-2}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-6}=\dfrac{z-3}{-2}$.
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{-6}$.
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{6}$.

Lời giải câu 38
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-6;-2)$ là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.
Phương trình đường thẳng $AB\colon \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-6}=\dfrac{z-3}{-2}$.

Câu 39. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=2\sin^2x-\cos x+k$. Giá trị của tham số thực $k$ để $m+M=\dfrac{3}{2}$ là
A. $k=\dfrac{1}{8}$.
B. $k=\dfrac{3}{16}$.
C. $k=\dfrac{3}{8}$.
D. $k=\dfrac{1}{4}$.

Lời giải câu 39
Ta có $f(x)=2(1-\cos^2x)-\cos x+k=-2\cos^2x-\cos x+k+2$.
Đặt $t=\cos x$ với điều kiện $t\in[-1;1]$, khi đó hàm số đã cho trở thành $f(t)=-2t^2-t+k+2$.
Hàm số liên tục trên đoạn $[-1;1]$.
Đạo hàm $f'(t)=-4t-1$ và $f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{4}\in[-1;1]$.
Ta có $f(-1)=k+1$, $f(1)=k-1$, $f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=k+\dfrac{17}{8}$.
Do đó $M=\max\limits_{[-1;1]}f(t)=k+\dfrac{17}{8}$ và $m=\min\limits_{[-1;1]}f(t)=k-1$.
Khi đó $M+m=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 2k+\dfrac{17}{8}-1=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow k=\dfrac{3}{16}$.

Câu 40. CHÈN HÌNH CÂU 40
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $2x^3-6x+3m=0$ có ba nghiệm phân biệt là
A. $(-2;+\infty)$.
B. $\left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)$.
C. $\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
D. $(-4;4)$.

Lời giải câu 40
Phương trình $2x^3-6x+3m=0\Leftrightarrow 3m=-2x^3+6x$. \quad (1)
Xét hàm số $y=-2x^3+6x$ có $y'=-6x^2+6$.
$y'=0\Leftrightarrow -6x^2+6=0\Leftrightarrow x=\pm1$.
Bảng biến thiên Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-4< 3m< 4\Leftrightarrow-\dfrac{4}{3}< m< \dfrac{4}{3}$.
Vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ là $\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.

Câu 41. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^2-4x-2}-16\cdot 2^x+3x^2-15x\le 18$ là
A. $8$.
B. $9$.
C. $7$.
D. $6$.

Lời giải câu 41
Ta có \begin{eqnarray*} &&2^{x^2-4x-2}-16\cdot 2^x+3x^2-15x\le 18
&\Leftrightarrow& 2^{x^2-4x-2}+3x^2-12x-6\le 2^4\cdot 2^x+3x+12
&\Leftrightarrow& 2^{x^2-4x-2}+3(x^2-4x-2)\le 2^{x+4}+3(x+4). \quad (1) \end{eqnarray*} Xét hàm số $f(t)=2^t+3t$ trên $\mathbb{R}$.
Đạo hàm $f'(t)=2^t\ln 2+3>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó $(1)\Leftrightarrow f(x^2-4x-2)\le f(x+4) \Leftrightarrow x^2-4x-2\le x+4$.
Giải bất phương trình trên ta có $x^2-5x-6\le 0\Leftrightarrow -1\le x\le 6$.
Mà $x\in\mathbb{Z}$ nên $x\in\{-1;0;1;2;3;4;5;6\}$.
Vậy bất phương trình có $8$ nghiệm nguyên.

Câu 42. CHÈN HÌNH CÂU 42
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$ có đồ thị $(C)$, biết $(C)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt. Gọi $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích các hình phẳng $H_1$, $H_2$ giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành trong đó $H_1$ là phần phía trên, $H_2$ là phần phía dưới trục hoành. Tìm $m$ để $S_1=S_2$.
A. $m=\dfrac{5}{3}$.
B. $m=\dfrac{11}{9}$.
C. $m=\dfrac{5}{9}$.
D. $m=\dfrac{20}{9}$.

Lời giải câu 42
{ Gọi $a$, $b$ là hai hoành độ giao điểm của trục hoành với đồ thị $(C)$ với $0< a< b$.
Do đồ thị $(C)$ có trục đối xứng $Oy$ nên
$S_1=2\displaystyle\int\limits_0^a(x^4-4x^2+m)\mathrm{\,d}x$ và $S_2=2\displaystyle\int\limits_a^b(-x^4+4x^2-m)\mathrm{\,d}x$.
Khi đó \begin{eqnarray*} S_1=S_2&\Leftrightarrow&\displaystyle\int\limits_0^a(x^4-4x^2+m)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b(-x^4+4x^2-m)\mathrm{\,d}x
&\Leftrightarrow&\left(\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{4x^3}{3}+mx\right)\Bigg|_0^a=\left(-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{4x^3}{3}-mx\right)\Bigg|_a^b
&\Leftrightarrow& \dfrac{a^5}{5}-\dfrac{4a^3}{3}+ma=-\dfrac{b^5}{5}+\dfrac{4b^3}{3}-mb+\dfrac{a^5}{5}-\dfrac{4a^3}{3}+ma
&\Leftrightarrow& m=-\dfrac{b^4}{5}+\dfrac{4b^2}{3}. \quad (1) \end{eqnarray*} } Mà $b$ cũng là nghiệm của phương trình $x^4-4x^2+m=0$ nên $m=-b^4+4b^2$. \quad (2)
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $-\dfrac{b^4}{5}+\dfrac{4b^2}{3}=-b^4+4b^2\Leftrightarrow\dfrac{4b^4}{5}-\dfrac{8b^2}{3}=0\Leftrightarrow b^2=\dfrac{10}{3}$.
Vậy $m=-b^4+4b^2=\dfrac{20}{9}$.

Câu 43. CHÈN HÌNH CÂU 43
Cho hai số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $|z_1-2i|=\sqrt{2}|1+iz_1|$, $|z_2-2i|=\sqrt{2}|1+iz_2|$. Biết $|z_1-z_2|=\sqrt{3}$. Tính $|z_1+z_2|$.
A. $\sqrt{6}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $\sqrt{7}$.

Lời giải câu 43
\textbf{Cách 1.}
Gọi $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ với $a$, $b$, $c$, $d\in\mathbb{R}$, ta có \begin{eqnarray*} \left\{\begin{aligned}&|z_1-2i|=\sqrt{2}|1+iz_1|\\&|z_2-2i|=\sqrt{2}|1+iz_2|\\&|z_1-z_2|=\sqrt{3} \end{aligned}\right. &\Leftrightarrow&\left\{\begin{aligned}&a^2+(b-2)^2=2\left[(1-b)^2+a^2\right]\\&c^2+(d-2)^2=2\left[(1-d)^2+c^2\right]\\&(a-b)^2+(c-d)^2=3 \end{aligned}\right.
&\Leftrightarrow&\left\{\begin{aligned}&a^2+b^2-4b+4=2a^2+2b^2-4b+2\\&c^2+d^2-4d+4=2c^2+2d^2-4d+2\\&a^2-2ab+b^2+c^2-2cd+d^2=3 \end{aligned}\right.
&\Leftrightarrow&\left\{\begin{aligned}&a^2+b^2=2\\&c^2+d^2=2\\&2(ab+cd)=1. \end{aligned}\right. \end{eqnarray*} Suy ra $|z_1+z_2|=\sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+cd)}=\sqrt{2+2+1}=\sqrt{5}$.
\textbf{Cách 2. Hình học} { Gọi $z=x+yi$ với $x$, $y\in\mathbb{R}$. $|z-2i|=\sqrt{2}|1+iz|\Leftrightarrow x^2+(y-2)^2=2\left[(1-y)^2+x^2\right]\Leftrightarrow x^2+y^2=2$. Gọi $A$, $B$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_1$, $z_2$. Suy ra $A$, $B$ thuộc đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=\sqrt{2}$. Mà $|z_1-z_2|=\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, suy ra $|z_1+z_2|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=2\left|\overrightarrow{OI}\right|=2OI$. $OI=\sqrt{R^2-\dfrac{AB^2}{4}}=\sqrt{2-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Vậy $|z_1+z_2|=\sqrt{5}$. }

Câu 44. CHÈN HÌNH CÂU 44
Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=2a$ và thể tích bằng $3a^3\sqrt{3}$. Khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $(AB'C')$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{3a}{2}$.
C. $a$.
D. $a\sqrt{3}$.

Lời giải câu 44
{ Gọi $V$ là thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
Ta có $V=AA'\cdot S_{ABC}\Leftrightarrow 3a^3\sqrt{3}=AA'\cdot \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow AA'=3a$.
Gọi $M$ là trung điểm $B'C'$ và $A'H$ là đường cao $\triangle AA'M$, ta có \[\left\{\begin{aligned}&B'C'\perp A'M\\&B'C'\perp AA' \end{aligned}\right.\Rightarrow B'C'\perp (AA'M)\Rightarrow B'C'\perp A'H.\] Khi đó $\left\{\begin{aligned}&A'H\perp AM\\&A'H\perp B'C' \end{aligned}\right.\Rightarrow A'H\perp (AB'C')$.
Suy ra $\mathrm{d}(A',(AB'C'))=A'H$. } Xét $\triangle A'B'C'$ đều cạnh $2a$ nên $A'M=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Xét $\triangle AA'M$ có $A'H=\dfrac{AA'\cdot A'M}{\sqrt{AA'^2+A'M^2}}=\dfrac{3a\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{9a^2+3a^2}}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy $\mathrm{d}(A',(AB'C'))=A'H=\dfrac{3a}{2}$.

Câu 45. CHÈN HÌNH CÂU 45
Cho khối nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $\dfrac{a}{2}$. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn đi qua $S$ và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $SAB$. Giá trị lớn nhất của tam giác $SAB$ là
A. $\dfrac{5a^2}{8}$.
B. $\dfrac{a^2}{2}$.
C. $\dfrac{3a^2}{8}$.
D. $\dfrac{2a^2}{3}$.

Lời giải câu 45
{ Do bán kính $r$ lớn hơn chiều cao $h$ của hình nón nên góc ở đỉnh của hình nón lớn hơn $90^\circ$.
Gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy, ta có $SO=h=\dfrac{a}{2}$.
Bán kính đáy $r=a$ nên đường sinh $$\ell=SA=SB=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$$ } Diện tích $\triangle SAB$ là $S=\dfrac{1}{2}\cdot SA\cdot SB\cdot \sin\widehat{ASB}$.
Diện tích $S$ lớn nhất khi và chỉ khi $\sin\widehat{ASB}$ lớn nhất, hay $\widehat{ASB}=90^\circ$.
Khi đó $S=\dfrac{1}{2}\cdot SA\cdot SB=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{5a^2}{8}$.

Câu 46. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;1;0)$ và đường thẳng $d_1\colon \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M$, cắt và vuông góc với đường thẳng $d_1$ có phương trình là
A. $\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-7}$.
B. $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{7}=\dfrac{z}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y-1}{8}=\dfrac{z}{-2}$.
D. $\dfrac{x-2}{6}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{-1}$.

Lời giải câu 46
Đường thẳng $d_1$ không đi qua $M$ và có một véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;-1;1)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d_1\colon \left\{\begin{aligned}&x=-1+2t\\&y=2-t\\&z=t. \end{aligned}\right.$
Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $d_2$ và $d_1$, suy ra $N\in d_1$ nên tọa độ điểm $N(-1+2n;2-n;n)$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=(2n-3;1-n;n)$.
$d_2$ vuông góc với $d_1$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 4n-6-1+n+n=0\Leftrightarrow n=\dfrac{7}{6}$.
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};\dfrac{7}{6}\right)$, do đó đường thẳng $d_2$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(4;1;-7)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d_2\colon \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-7}$.

Câu 47. CHÈN HÌNH CÂU 47
Cho các số thực $x$ thỏa mãn $\sqrt{2^{1-3\sin x}}+1+3\sin x=\log_2(1-9\sin x)$. Tính $\cos 2x$.
A. $\dfrac{7}{9}$.
B. $-\dfrac{2}{3}$.
C. $-\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{4}{9}$.

Lời giải câu 47
Điều kiện $1-9\sin x> 0\Leftrightarrow -1\le \sin x< \dfrac{1}{9}$.
Phương trình $\sqrt{2^{1-3\sin x}}+1+3\sin x=\log_2(1-9\sin x)\Leftrightarrow 2^{\tfrac{1-3\sin x}{2}}+1+3\sin x=\log_2(1-9\sin x)$.
Đặt $t=\dfrac{1-3\sin x}{2}\Rightarrow 3\sin x=-2t+1$ và $t\in\left(\dfrac{1}{3};2\right]$, khi đó phương trình trở thành \begin{eqnarray*} 2^t+1-2t+1=\log_2(6t-2)&\Leftrightarrow&2^t-2t+2=\log_2[2(3t-1)]
&\Leftrightarrow&2^t-2t+2=\log_2(3t-1)+1
&\Leftrightarrow&2^t+t=\log_2(3t-1)+3t-1
&\Leftrightarrow&\log_22^t+2^t=\log_2(3t-1)+3t-1. \quad(1) \end{eqnarray*} Xét hàm số $f(u)=\log_2u+u$ với $u>0$.
Đạo hàm $f'(u)=\dfrac{1}{u\cdot \ln 2}+1>0$ với $u>0$.
Do đó hàm số $f(u)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.
Khi đó $(1)\Leftrightarrow f(2^t)=f(3t-1)\Leftrightarrow 2^t=3t-1$. \quad(2)
Xét hàm số $y=2^t-3t+1$ với $t\in\left(\dfrac{1}{3};2\right]$. Đạo hàm $y'=2^t\ln 2-3$. $y'=0\Leftrightarrow 2^t\ln 2-3=0\Leftrightarrow 2^t=\dfrac{3}{\ln2}\Leftrightarrow t=\log_2\left(\dfrac{3}{\ln2}\right)\notin \left(\dfrac{1}{3};2\right]$. Với $x=1$, ta có $y'=2\ln 2-3< 0$. Khi đó ta có bảng biến thiên Do đó phương trình $y=0$ có nghiệm duy nhất. Dễ thấy phương trình $2^t-3t+1=0$ có nghiệm $t=1\in \left(\dfrac{1}{3};2\right]$. Vậy $t=1\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{-2\cdot 1+1}{3}=-\dfrac{1}{3}$, suy ra $\cos 2x=1-2\sin^2x=1-2\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{7}{9}$.

Câu 48. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-1}^1f\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\mathrm{\,d}x=10$ và $\displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{f(x)}{x^2}\mathrm{\,d}x=3$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x$.
A. $13$.
B. $11$.
C. $7$.
D. $5$.

Lời giải câu 48
Đặt $t=\sqrt{x^2+3}-x\Rightarrow t+x=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow (t+x)^2=x^2+3\Rightarrow x=\dfrac{3-t^2}{2t}=\dfrac{3}{2t}-\dfrac{t}{2}$.
Suy ra $\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2t^2}\right)\mathrm{\,d}t$.
Đổi cận $x=1\Rightarrow t=1$; $x=-1\Rightarrow t=3$.
Khi đó \begin{eqnarray*} &&\displaystyle\int\limits_{-1}^1f\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\mathrm{\,d}x=10
&\Leftrightarrow&-\displaystyle\int\limits_3^1f(t)\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2t^2}\right)\mathrm{\,d}t=10
&\Leftrightarrow&\displaystyle\int\limits_1^3f(t)\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2t^2}\right)\mathrm{\,d}t=10
&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3f(t)\mathrm{\,d}t+\dfrac{3}{2}\displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{f(t)}{t^2}\mathrm{\,d}t=10
&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3f(t)\mathrm{\,d}t+\dfrac{3}{2}\cdot 3=10
&\Leftrightarrow&\displaystyle\int\limits_1^3f(t)\mathrm{\,d}t=11. \end{eqnarray*} Vậy $\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x=11$.

Câu 49. Trong không gian $Oxyz$, cho hình thoi $ABCD$ có diện tích bằng $12\sqrt{2}$. Biết điểm $A$ nằm trên trục $Oz$, $C$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, hai điểm $B$ và $D$ nằm trên đường thẳng $d\colon \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ trong đó $B$ có hoành độ dương. Điểm $D$ có tọa độ là
A. $(-2;-2;-5)$.
B. $(2;2;3)$.
C. $(3;3;5)$.
D. $(-1;-1;-3)$.

Lời giải câu 49
Gọi tọa độ điểm $A(0;0;a)\in Oz$, $C(b;c;0)\in (Oxy)$, suy ra trung điểm của $AC$ là $I\left(\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2};\dfrac{a}{2}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AC}=(b;c;-a)$, đường thẳng $BD$ có một véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$.
$ABCD$ là hình thoi suy ra $AC$ vuông góc $BD$ tại trung điểm $I$, ta có $$\left\{\begin{aligned}aligned\

right.heva{&\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{u}=0\\&I\in BD \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b+c-2a=0\\&\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+2}{4} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&b+c-2a=0\\&b=c\\&2b=a+2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&a=2\\&b=2\\&c=2. \end{aligned}\right.$$ Suy ra $I(1;1;1)$, $A(0;0;2)$; $C(2;2;0)$ và $AC=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{3}$.
Do điểm $B$ thuộc đường thẳng $d\colon \left\{\begin{aligned}&x=t\\&y=t\\&z=2t-1 \end{aligned}\right.$ nên tọa độ điểm $B(m;m;2m-1)$ với $m>0$.
Khi đó ta có $\overrightarrow{IB}=(m-1;m-1;2m-2)$ và $IB=\sqrt{(m-1)^2+(m-1)^2+(2m-2)^2}=\sqrt{6(m-1)^2}$. $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=AC\cdot BI=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6(m-1)^2}=12\sqrt{2}$. Giải phương trình trên ta có $(m-1)^2=4\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&m=-1&&\text{ (Loại) }\\&m=3&&\text{ (Nhận) }. \end{aligned}\right.$ Khi đó $B(3;3;5)$. Do $I(1;1;1)$ là trung điểm $BD$ nên $D(-1;-1;-3)$. \end{aligned}\right.

Câu 50. CHÈN HÌNH CÂU 50
Cho số thực $a\ne 0$, biết rằng phương trình $ax^3+12x^2+15x+2021=0$ có ba nghiệm thực phân biệt. Số nghiệm thực của phương trình $4\left(ax^3+12x^2+15x+2021\right)(3ax+12)=\left(3ax^2+24x+15\right)^2$ là
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.

Lời giải câu 50
Đặt hàm số $f(x)=ax^3+12x^2+15x+2021$, ta có $f'(x)=3ax^2+24x+15$. $f''(x)=6ax+24=2(3ax+12)$. $f'''(x)=6a$. $4\left(ax^3+12x^2+15x+2021\right)(3ax+12)=\left(3ax^2+24x+15\right)^2\Leftrightarrow 2f(x)\cdot f''(x)=\left(f'(x)\right)^2$. Đặt hàm số $g(x)=2f(x)\cdot f''(x)-\left(f'(x)\right)^2$, ta có
$g'(x)=2f'(x)\cdot f''(x)+2f(x)\cdot f'''(x)-2f'(x)\cdot f''(x)=2f(x)\cdot f'''(x)=12a\cdot f(x)$.
Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là ba nghiệm của phương trình $f(x)=0$, ta có $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
Khi đó $g'(x)=12a^2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ nên $g'(x)=0$ cũng có ba nghiệm $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ như sau Mặt khác $g(\alpha)=2f(\alpha)\cdot f''(\alpha)-\left(f'(\alpha)\right)^2=-\left(f'(\alpha)\right)^2< 0$.
Tương tự $g(\beta)=-\left(f'(\beta)\right)^2< 0$và $g(\gamma)=-\left(f'(\gamma)\right)^2< 0$.
Vậy phương trình $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!